数学A 確率 問題 46 解説

方針・初手

和が $3$ の倍数になるかどうかだけを考えればよいので、各数字を $3$ で割った余りで見る。

$1,2,3$ はそれぞれ $3$ で割った余りが $1,2,0$ である。したがって、選んだ $3$ 個の数の個数の組合せを調べ、和が $0$ に合同になるものを数える。

解法1

まず、$1,2,3$ の中から重複を許して $3$ つ選ぶ組合せを調べる。

$1$ を $a$ 個、$2$ を $b$ 個、$3$ を $c$ 個選ぶとする。このとき

$$ a+b+c=3 $$

であり、選ばれた数の和は

$$ a+2b+3c $$

である。

これが $3$ の倍数である条件は

$$ a+2b+3c \equiv 0 \pmod{3} $$

である。ここで $3c \equiv 0 \pmod{3}$、また $2 \equiv -1 \pmod{3}$ より、

$$ a+2b+3c \equiv a-b \pmod{3} $$

となる。したがって条件は

$$ a \equiv b \pmod{3} $$

である。

$a,b,c$ はいずれも $0$ 以上の整数で、$a+b+c=3$ を満たす。これを満たすもののうち、$a \equiv b \pmod{3}$ となるものを調べる。

(1)

$a=b=0$ のとき、$c=3$ である。 このとき組合せは

$$ (3,3,3) $$

である。

(2)

$a=b=1$ のとき、$c=1$ である。 このとき組合せは

$$ (1,2,3) $$

である。

(3)

$a=3,b=0$ のとき、$c=0$ である。 このとき $a \equiv b \pmod{3}$ なので条件を満たす。組合せは

$$ (1,1,1) $$

である。

(4)

$a=0,b=3$ のとき、$c=0$ である。 このときも $a \equiv b \pmod{3}$ なので条件を満たす。組合せは

$$ (2,2,2) $$

である。

よって、求める組合せは

$$ (1,1,1),\ (2,2,2),\ (3,3,3),\ (1,2,3) $$

である。

次に、カードの問題を考える。

カードは $1,2,3$ がそれぞれ $3$ 枚ずつあり、合計 $9$ 枚である。この中から一度に $3$ 枚を選ぶので、全事象の数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{3}=84 $$

である。

和が $3$ の倍数になるカードの数字の組合せは、(1)より

$$ (1,1,1),\ (2,2,2),\ (3,3,3),\ (1,2,3) $$

の $4$ 種類である。

それぞれの場合の選び方を数える。

数字が $(1,1,1)$ となるには、$1$ のカード $3$ 枚をすべて選ぶしかないので

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{3}=1 $$

通りである。

同様に、$(2,2,2)$、$(3,3,3)$ もそれぞれ

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{3}=1 $$

通りである。

数字が $(1,2,3)$ となるには、$1$ のカードから $1$ 枚、$2$ のカードから $1$ 枚、$3$ のカードから $1$ 枚を選べばよい。したがって選び方は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}{}_{3}\mathrm{C}_{1}{}_{3}\mathrm{C}_{1}=27 $$

通りである。

よって、和が $3$ の倍数になる選び方は

$$ 1+1+1+27=30 $$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{30}{84}=\frac{5}{14} $$

である。

解説

この問題では、「和が $3$ の倍数」という条件を、選んだ数そのものではなく $3$ で割った余りで考えるのが基本である。

(1) は重複を許す組合せなので、順序を区別しない。したがって $(1,2,3)$、$(1,3,2)$、$(2,1,3)$ などはすべて同じ組合せとして扱う。

(2) ではカード自体は区別されるが、和が $3$ の倍数になる数字の型は (1) で求めた $4$ 種類だけである。特に $(1,2,3)$ 型は、各数字のカードを $3$ 枚の中から $1$ 枚ずつ選べるため、$3^3=27$ 通りになる点に注意する。

答え

(1)

$$ (1,1,1),\ (2,2,2),\ (3,3,3),\ (1,2,3) $$

(2)

$$ \frac{5}{14} $$