数学A 確率 問題 45 解説

方針・初手

大小2つのサイコロは区別されるので、$(A,B)$ の組は全部で $6\times 6=36$ 通りあり、すべて同様に確からしい。

方程式

$$ x^2-Ax+B=0 $$

について、条件ごとに $(A,B)$ の個数を数えればよい。

解法1

(1)

$x=1$ を解にもつ条件を求める。

$x=1$ を代入すると、

$$ 1-A+B=0 $$

より、

$$ A=B+1 $$

である。

$A,B$ はともに $1$ から $6$ までの整数なので、

$$ (B,A)=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6) $$

の $5$ 通りである。

したがって、確率は

$$ \frac{5}{36} $$

である。

(2)

$x=2$ を解にもつ条件を求める。

$x=2$ を代入すると、

$$ 4-2A+B=0 $$

より、

$$ B=2A-4 $$

である。

$1\leqq B\leqq 6$ より、

$$ 1\leqq 2A-4\leqq 6 $$

であるから、

$$ 3\leqq A\leqq 5 $$

となる。

よって、

$$ (A,B)=(3,2),(4,4),(5,6) $$

の $3$ 通りである。

したがって、確率は

$$ \frac{3}{36}=\frac{1}{12} $$

である。

（3） 2つの異なる実数解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると

$$ D=A^2-4B>0 $$

である。

すなわち、

$$ B<\frac{A^2}{4} $$

を満たす $(A,B)$ を数えればよい。

$A=1$ のとき、$B<\dfrac14$ なので $0$ 通り。

$A=2$ のとき、$B<1$ なので $0$ 通り。

$A=3$ のとき、$B<\dfrac94$ なので $B=1,2$ の $2$ 通り。

$A=4$ のとき、$B<4$ なので $B=1,2,3$ の $3$ 通り。

$A=5$ のとき、$B<\dfrac{25}{4}$ なので $B=1,2,3,4,5,6$ の $6$ 通り。

$A=6$ のとき、$B<9$ なので $B=1,2,3,4,5,6$ の $6$ 通り。

したがって、条件を満たす組は

$$ 0+0+2+3+6+6=17 $$

通りである。

よって、確率は

$$ \frac{17}{36} $$

である。

（4） 2つの異なる整数解をもつ条件を考える。

方程式が

$$ x^2-Ax+B=0 $$

であるから、2つの整数解を $m,n$ とすると、解と係数の関係より

$$ m+n=A,\qquad mn=B $$

である。

ここで $A>0,\ B>0$ なので、整数解が2つある場合、それらはともに正の整数でなければならない。さらに異なる解なので、$m<n$ としてよい。

正の整数 $m<n$ について、

$$ m+n\leqq 6,\qquad mn\leqq 6 $$

を満たすものを数える。

$m=1$ のとき、$n=2,3,4,5$ が可能であり、これらは

$$ (A,B)=(3,2),(4,3),(5,4),(6,5) $$

を与える。

$m=2$ のとき、$n=3$ が可能であり、

$$ (A,B)=(5,6) $$

を与える。

$m\geqq 3$ のとき、$m<n$ かつ $m+n\leqq 6$ を満たすものはない。

したがって、条件を満たす組は $5$ 通りである。

よって、確率は

$$ \frac{5}{36} $$

である。

（5） 実数解をもたない条件は、

$$ D=A^2-4B<0 $$

である。

すなわち、

$$ B>\frac{A^2}{4} $$

を満たす $(A,B)$ を数えればよい。

$A=1$ のとき、$B>\dfrac14$ なので $B=1,2,3,4,5,6$ の $6$ 通り。

$A=2$ のとき、$B>1$ なので $B=2,3,4,5,6$ の $5$ 通り。

$A=3$ のとき、$B>\dfrac94$ なので $B=3,4,5,6$ の $4$ 通り。

$A=4$ のとき、$B>4$ なので $B=5,6$ の $2$ 通り。

$A=5$ のとき、$B>\dfrac{25}{4}$ を満たす $B$ はない。

$A=6$ のとき、$B>9$ を満たす $B$ はない。

したがって、条件を満たす組は

$$ 6+5+4+2+0+0=17 $$

通りである。

よって、確率は

$$ \frac{17}{36} $$

である。

解説

この問題では、$A,B$ がサイコロの目であるため、まず $(A,B)$ の全事象が $36$ 通りであることを押さえる必要がある。

$x=1$ や $x=2$ を解にもつ条件は、直接代入して $A,B$ の関係式に直せばよい。

実数解の有無や異なる実数解の判定では、判別式

$$ D=A^2-4B $$

を用いる。$D>0$ なら2つの異なる実数解、$D=0$ なら重解、$D<0$ なら実数解をもたない。

整数解については、判別式が平方数であるかを調べる方法もあるが、今回は

$$ m+n=A,\qquad mn=B $$

とおいて正の整数解の組を直接数える方が見落としにくい。

答え

(1)

$$ \boxed{\frac{5}{36}} $$

(2)

$$ \boxed{\frac{1}{12}} $$

(3)

$$ \boxed{\frac{17}{36}} $$

(4)

$$ \boxed{\frac{5}{36}} $$

(5)

$$ \boxed{\frac{17}{36}} $$