数学A 確率 問題 51 解説

方針・初手

2枚を同時に選んだとき、小さいほうの数が $k$ になる確率をまず求める。

カードを箱に戻してから2回目を行うので、1回目と2回目は独立であり、

$$ P(X=Y)=\sum_{k}P(X=k)P(Y=k) $$

として計算できる。

解法1

2枚のカードの選び方は全部で

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{2}=36 $$

通りである。

小さいほうの数が $k$ になるには、選んだ2枚のうち一方が $k$ で、もう一方が $k$ より大きい数であればよい。

$k$ より大きい数は

$$ k+1,k+2,\dots,9 $$

の $9-k$ 個ある。したがって、

$$ P(X=k)=\frac{9-k}{36} $$

である。

小さいほうの数は $1$ から $8$ までしかありえないので、$k=1,2,\dots,8$ である。

また、カードを戻してから2回目を行うため、$X$ と $Y$ は同じ分布をもち、互いに独立である。よって、

$$ P(X=Y)=\sum_{k=1}^{8}P(X=k)P(Y=k) $$

となる。ここで $P(Y=k)=P(X=k)$ だから、

$$ P(X=Y)=\sum_{k=1}^{8}\left(\frac{9-k}{36}\right)^2 $$

である。

$9-k$ は $k=1,2,\dots,8$ に対して $8,7,\dots,1$ となるので、

$$ P(X=Y)=\frac{1^2+2^2+\cdots+8^2}{36^2} $$

となる。

平方和を計算すると、

$$ 1^2+2^2+\cdots+8^2=\frac{8\cdot9\cdot17}{6}=204 $$

であるから、

$$ P(X=Y)=\frac{204}{1296}=\frac{17}{108} $$

である。

解法2

1回の試行で2枚を選ぶ組合せは $36$ 通りである。したがって、1回目と2回目を合わせた全事象は

$$ 36^2 $$

通りである。

小さいほうの数が同じになる場合を数える。

小さいほうの数が $k$ である2枚の選び方は、解法1と同様に $9-k$ 通りである。したがって、1回目も2回目も小さいほうの数が $k$ になる選び方は

$$ (9-k)^2 $$

通りである。

よって、求める場合の数は

$$ \sum_{k=1}^{8}(9-k)^2 $$

である。これは

$$ 8^2+7^2+\cdots+1^2=204 $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{204}{36^2}=\frac{204}{1296}=\frac{17}{108} $$

である。

解説

この問題では、「2枚のうち小さいほう」という条件を直接扱うことが重要である。

小さいほうが $k$ になるには、もう一方のカードが必ず $k$ より大きい必要がある。そのため、$k$ ごとの場合の数は一定ではなく、$9-k$ 通りになる。

また、カードを箱に戻すので、1回目と2回目の試行は独立である。したがって、同じ値になる確率は、各値について確率の2乗を足し合わせればよい。

答え

$$ \frac{17}{108} $$