数学A 確率 問題 52 解説

方針・初手

$n$ は差の積であるから、$n=0$ となるのは、3回の出目のうち少なくとも2つが等しいときである。

また、$|n|$ を考えるときは、出目の並び順ではなく、3つの出目の集合を小さい順に並べたときの差に注目するとよい。

解法1

さいころを3回投げるので、全事象の数は

$$ 6^3=216 $$

である。

（1） $n=0$ である確率

$$ n=(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_3-a_1) $$

であるから、$n=0$ となるのは

$$ a_1=a_2 \quad \text{または} \quad a_2=a_3 \quad \text{または} \quad a_3=a_1 $$

となるときである。

これは、3つの出目のうち少なくとも2つが等しい場合である。そこで、余事象として3つの出目がすべて異なる場合を数える。

3つの出目がすべて異なる場合の数は

$$ 6\cdot 5\cdot 4=120 $$

である。したがって、$n=0$ となる場合の数は

$$ 216-120=96 $$

である。

よって求める確率は

$$ \frac{96}{216}=\frac{4}{9} $$

である。

（2） $|n|=30$ である確率

$|n|=30$ となるには、まず3つの出目がすべて異なる必要がある。

3つの出目を小さい順に

$$ x<y<z $$

とする。このとき、3つの差の絶対値は

$$ y-x,\quad z-y,\quad z-x $$

である。

ここで

$$ p=y-x,\quad q=z-y $$

とおくと、$p,q$ は正の整数であり、

$$ z-x=p+q $$

である。よって

$$ |n|=pq(p+q) $$

となる。

したがって

$$ pq(p+q)=30 $$

を満たす正の整数 $p,q$ を考えればよい。

$p+q$ は最大でも $5$ である。実際、出目は $1$ から $6$ までなので、最大の差は $6-1=5$ である。

正の整数 $p,q$ について調べると、

$$ 2\cdot 3\cdot 5=30 $$

より

$$ (p,q)=(2,3),(3,2) $$

のみが条件を満たす。

したがって、小さい順に並べた3つの出目は、隣り合う差が $2,3$ または $3,2$ である。

(i)

$(p,q)=(2,3)$ のとき

$$ x,\ x+2,\ x+5 $$

であり、$1\leq x$、$x+5\leq 6$ より $x=1$ である。

したがって

$$ (x,y,z)=(1,3,6) $$

である。

(ii)

$(p,q)=(3,2)$ のとき

$$ x,\ x+3,\ x+5 $$

であり、同様に $x=1$ である。

したがって

$$ (x,y,z)=(1,4,6) $$

である。

よって、出目の集合は

$$ {1,3,6},\quad {1,4,6} $$

の2通りである。

それぞれの集合について、$a_1,a_2,a_3$ への並べ方は

$$ 3!=6 $$

通りある。したがって、$|n|=30$ となる場合の数は

$$ 2\cdot 6=12 $$

である。

よって求める確率は

$$ \frac{12}{216}=\frac{1}{18} $$

である。

解説

この問題では、$n=0$ は差の積が $0$ になる条件を直接読むのが早い。少なくとも2つの出目が等しい場合を直接包除原理で数えてもよいが、余事象である「3つとも異なる」を数える方が簡潔である。

一方、$|n|=30$ では、出目の順番に直接こだわると場合分けが多くなる。そこで、3つの出目を小さい順に並べ、隣り合う差を $p,q$ とおくことで、条件を

$$ pq(p+q)=30 $$

に変換できる。この変換により、数え上げるべき候補が大幅に絞られる。

答え

(1)

$$ \frac{4}{9} $$

(2)

$$ \frac{1}{18} $$