数学A 確率 問題 55 解説

方針・初手

1ゲームごとに、Aが勝つ確率とBが勝つ確率は等しく、引き分けの確率が $p$ である。したがって、Aが1ゲームに勝つ確率、Bが1ゲームに勝つ確率はいずれも

$$ \frac{1-p}{2} $$

である。

これを

$$ q=\frac{1-p}{2} $$

とおくと、計算が整理しやすい。

解法1

Aが3ゲーム目で試合の勝者となるには、最初の3ゲームをすべてAが勝てばよい。よって

$$ [\text{ア}]=q^3 $$

である。したがって

$$ [\text{ア}]=\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 $$

となる。

次に、3ゲーム目終了時点でAが $2$ 勝 $1$ 敗となる確率を求める。

3ゲームのうちAが勝つゲームを2つ、Bが勝つゲームを1つ選べばよい。Aの勝ちもBの勝ちも確率はともに $q$ であるから、

$$ [\text{イ}] ={}_{3}\mathrm{C}_{2}q^2q =3q^3 $$

である。よって

$$ [\text{イ}] =3\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 $$

となる。

次に、3ゲーム目終了時点でAが $2$ 勝 $1$ 引き分けとなる確率を求める。

3ゲームのうちAが勝つゲームを2つ、引き分けとなるゲームを1つ選べばよい。Aが勝つ確率は $q$、引き分けの確率は $p$ であるから、

$$ [\text{ウ}] ={}_{3}\mathrm{C}_{2}q^2p =3q^2p $$

である。よって

$$ [\text{ウ}] =3p\left(\frac{1-p}{2}\right)^2 $$

となる。

最後に、4ゲーム目でAが試合の勝者となる確率を求める。

4ゲーム目でAが試合の勝者となるには、3ゲーム終了時点でAがちょうど2勝しており、4ゲーム目にAが勝てばよい。

3ゲーム終了時点でAがちょうど2勝している場合は、残り1ゲームがBの勝ちである場合と、引き分けである場合の2通りである。したがって、その確率は

$$ [\text{イ}]+[\text{ウ}] $$

である。

この状態から4ゲーム目にAが勝つ確率は $q$ であるから、

$$ [\text{エ}] =([\text{イ}]+[\text{ウ}])q $$

となる。これに上で求めた式を代入すると、

$$ \begin{aligned} [\text{エ}] &=(3q^3+3q^2p)q\\ &=3q^4+3q^3p\\ &=3q^3(q+p) \end{aligned} $$

である。

$q=\dfrac{1-p}{2}$ を代入して、

$$ [\text{エ}] =3\left(\frac{1-p}{2}\right)^4 +3p\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 $$

となる。

また、まとめると

$$ \begin{aligned} [\text{エ}] &=3\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 \left(\frac{1-p}{2}+p\right)\\ &=3\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 \cdot \frac{1+p}{2}\\ &=\frac{3(1-p)^3(1+p)}{16} \end{aligned} $$

である。

解説

「3ゲーム先取」とは、先に3勝した方が試合の勝者となるという意味である。引き分けはどちらの勝ち数にも加えないので、試合が長引く可能性がある。

3ゲーム目でAが勝者になる場合は、Aが3連勝する場合だけである。

4ゲーム目でAが勝者になる場合は、3ゲーム終了時点でAがちょうど2勝していなければならない。このとき、残り1ゲームはBの勝ちでも引き分けでもよい。したがって、3ゲーム終了時点の状態を

（i） Aが $2$ 勝 $1$ 敗

（ii） Aが $2$ 勝 $1$ 引き分け

に分けて数えるのが自然である。

答え

$$ [\text{ア}] =\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 $$

$$ [\text{イ}] =3\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 $$

$$ [\text{ウ}] =3p\left(\frac{1-p}{2}\right)^2 $$

$$ [\text{エ}] =3\left(\frac{1-p}{2}\right)^4 +3p\left(\frac{1-p}{2}\right)^3 =\frac{3(1-p)^3(1+p)}{16} $$