数学A 確率 問題 54 解説

方針・初手

コインの表を $H$、裏を $T$ とおく。表が出るとアメ玉は $1$ 個増え、裏が出ると $1$ 個減るので、最初の $10$ 個からの増減だけを考えればよい。

$k$ 回投げた後の増減を

$$ S_k=(H\text{ の回数})-(T\text{ の回数}) $$

とすると、皿のアメ玉の個数は $10+S_k$ 個である。

解法1

(1)

コインは $5$ 回投げる。各回で表・裏の $2$ 通りがあるので、面の出方は全部で

$$ 2^5=32 $$

通りである。

(2)

皿のアメ玉の個数が一度も $10$ 個未満にならないためには、各回の後で

$$ 10+S_k \geqq 10 $$

であればよい。したがって条件は

$$ S_k\geqq 0 \quad (k=1,2,3,4,5) $$

である。

つまり、どの時点でも裏の回数が表の回数を上回ってはいけない。よって最初の1回は必ず表である。

表の回数を $h$、裏の回数を $t$ とすると、$h+t=5$ であり、最終的にも $S_5=h-t\geqq 0$ が必要なので、可能性は

$$ (h,t)=(5,0),(4,1),(3,2) $$

である。

それぞれについて、途中で $S_k<0$ にならない並びを数える。

(i)

$(h,t)=(5,0)$ のとき

すべて表なので

$$ 1 $$

通りである。

(ii)

$(h,t)=(4,1)$ のとき

裏は1回だけである。最初が裏でなければ途中で負にならないので、裏の位置は $2,3,4,5$ 回目のいずれかである。よって

$$ 4 $$

通りである。

(iii)

$(h,t)=(3,2)$ のとき

表3回、裏2回の並びのうち、どの時点でも裏の回数が表の回数を上回らないものを数える。

条件を満たす並びは

$$ HHHTT,\ HHTHT,\ HHTTH,\ HTHHT,\ HTHTH $$

の $5$ 通りである。

したがって、条件を満たす出方は全部で

$$ 1+4+5=10 $$

通りである。

(3)

子供がちょうど $11$ 個受け取るとは、5回投げ終わった後に皿のアメ玉が $11$ 個残っているということである。

最初は $10$ 個なので、最終的な増減は $+1$ である。表の回数を $h$、裏の回数を $t$ とすると、

$$ h+t=5 $$

かつ

$$ h-t=1 $$

である。これを解くと、

$$ h=3,\quad t=2 $$

である。

よって、表が3回、裏が2回出る並びを数えればよい。その数は

$$ {}_5C_3=10 $$

通りである。

コインの表と裏が同じ確率で出るので、全事象は

$$ 2^5=32 $$

通りであり、求める確率は

$$ \frac{10}{32}=\frac{5}{16} $$

である。

解説

この問題では、皿のアメ玉の個数そのものを毎回追うよりも、「最初の $10$ 個からの増減」を追うほうが見通しがよい。

特に （2） は、最終的に $10$ 個以上であればよいのではなく、途中の各時点で $10$ 個未満にならないことが条件である。したがって、どの時点でも裏の回数が表の回数を上回らないような並びを数える必要がある。

一方、（3） は途中経過に条件がないため、最終的に表3回・裏2回であればよい。（2） と （3） は似ているが、途中経過を見るかどうかが本質的な違いである。

答え

(1)

$$ 32 $$

通り。

(2)

$$ 10 $$

通り。

(3)

$$ \frac{5}{16} $$