数学A 確率 問題 57 解説

方針・初手

この $3\times 3$ の格子点で、3点を通る直線は、横に3本、縦に3本、斜めに2本で、合計

$$ 3+3+2=8 $$

本である。

選ばれた $n$ 個の点の中に、この8本のうち何本が完全に含まれるかを数えればよい。

解法1

(1)

$n=3$ のとき

9個の点から3個を選ぶ総数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{3}=84 $$

である。

$X=1$ となるのは、選んだ3点がちょうど1本の直線上にある場合である。3点を通る直線は8本あるので、有利な選び方は

$$ 8 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{8}{{}_{9}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{8}{84} \\ \frac{2}{21} \end{aligned} $$

である。

(2)

$n=4$ のとき

9個の点から4個を選ぶ総数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{4}=126 $$

である。

まず、3点を通る直線を1本選ぶ。この選び方は8通りである。その直線上にない点は

$$ 9-3=6 $$

個あるので、4個目の点の選び方は6通りである。

よって、有利な選び方は

$$ 8\cdot 6=48 $$

通りである。

4点の中に異なる2本の3点直線が含まれることはない。なぜなら、異なる2本の3点直線は高々1点しか共有しないため、2本を含むには少なくとも

$$ 3+3-1=5 $$

個の点が必要だからである。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{48}{{}_{9}\mathrm{C}_{4}} &= \frac{48}{126} \\ \frac{8}{21} \end{aligned} $$

である。

(3)

$n=5$ のとき

9個の点から5個を選ぶ総数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{5}=126 $$

である。

$X=2$ となるためには、選ばれた5点の中に、3点を通る直線がちょうど2本含まれればよい。

異なる2本の3点直線がともに含まれるには、2本の直線の和集合が5点以下でなければならない。異なる2本の直線は高々1点しか共有しないので、2本が交わる場合に限り、和集合の点の個数は

$$ 3+3-1=5 $$

となる。

したがって、5点の選び方は「交わる2本の3点直線の和集合」として数えればよい。

3点を通る8本の直線のうち、交わる2本の組を数える。

横の直線と縦の直線の組は

$$ 3\cdot 3=9 $$

通りである。

横の直線と斜めの直線の組は

$$ 3\cdot 2=6 $$

通りである。

縦の直線と斜めの直線の組は

$$ 3\cdot 2=6 $$

通りである。

2本の斜めの直線の組は

$$ 1 $$

通りである。

よって、交わる2本の3点直線の組は

$$ 9+6+6+1=22 $$

通りである。

このとき得られる5点集合には、選んだ2本以外の3点直線は含まれない。したがって、有利な選び方は22通りである。

よって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{22}{{}_{9}\mathrm{C}_{5}} &= \frac{22}{126} \\ \frac{11}{63} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、まず「3点を通る直線」が格子内に何本あるかを正確に数えることが重要である。横3本、縦3本、斜め2本の合計8本であり、それ以外に3個の格子点を通る直線はない。

$n=4$ では、2本の3点直線を同時に含むには少なくとも5点が必要なので、1本の直線とその外の1点を選ぶだけでよい。

$n=5$ では、2本の3点直線を含むには、それらが交わっている必要がある。交わらない2本では6点必要になるため、5点の中には入らない。この「2本の直線の和集合が5点になる」という見方が核心である。

答え

(1)

$$ \frac{2}{21} $$

(2)

$$ \frac{8}{21} $$

(3)

$$ \frac{11}{63} $$