数学A 確率 問題 58 解説

方針・初手

各カードの数字を $3$ で割った余りで分類する。$1$ から $3n$ までの整数には、余り $0,1,2$ のものがそれぞれ $n$ 個ずつある。

また、$3$ 枚を同時に取り出すと考えてよいので、全事象は

$$ {}_{3n}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

解法1

$1$ から $3n$ までの整数のうち、$3$ の倍数は

$$ 3,6,9,\ldots,3n $$

の $n$ 個である。

(1)

$3$ 枚のカードの数字がすべて $3$ の倍数であるには、この $n$ 枚の中から $3$ 枚を選べばよい。

したがって、求める確率は

$$ \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} $$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{\frac{3n(3n-1)(3n-2)}{6}} \\ \frac{(n-1)(n-2)}{3(3n-1)(3n-2)} \end{aligned} $$

である。

(2)

$3$ 枚の数字の和が $3$ の倍数になるのは、余りの組が次のいずれかの場合である。

$$ (0,0,0),\quad (1,1,1),\quad (2,2,2),\quad (0,1,2) $$

余り $0,1,2$ のカードはそれぞれ $n$ 枚ずつある。

余りがすべて同じ場合は、それぞれ

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{3} $$

通りであり、これが $3$ 種類ある。

また、余りが $0,1,2$ である場合は、それぞれの余りから $1$ 枚ずつ選ぶので、

$$ n^3 $$

通りである。

したがって、和が $3$ の倍数になる選び方は

$$ 3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3 $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} $$

である。

これを整理する。

$$ \begin{aligned} 3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3 &= \frac{n(n-1)(n-2)}{2}+n^3 \\ \frac{n(3n^2-3n+2)}{2} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} {}_{3n}\mathrm{C}_{3} &= \frac{3n(3n-1)(3n-2)}{6} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{3n^2-3n+2}{(3n-1)(3n-2)} \end{aligned} $$

となる。

(3)

まず、$3$ 枚のカードの数字の積が $3$ の倍数である確率を求める。

積が $3$ の倍数であることは、少なくとも $1$ 枚が $3$ の倍数であることと同値である。

その余事象は、$3$ 枚とも $3$ の倍数でないことである。$3$ の倍数でないカードは、余り $1,2$ のカードなので合計 $2n$ 枚ある。

したがって、積が $3$ の倍数である確率は

$$ 1-\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} $$

である。

一方、(2)より、和が $3$ の倍数でない確率は

$$ 1-\frac{3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} $$

である。

この $2$ つを比較する。

積が $3$ の倍数である確率から、和が $3$ の倍数でない確率を引くと、

$$ \begin{aligned} \left(1-\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}}\right) &= \left(1-\frac{3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}}\right) \\ \frac{3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3-{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} \end{aligned} $$

である。

分子を計算すると、

$$ \begin{aligned} 3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3-{}_{2n}\mathrm{C}_{3} &= \frac{n(n-1)(n-2)}{2}+n^3-\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \\ &= \frac{3n^3-3n^2+2n}{2}-\frac{4n^3-6n^2+2n}{3} \\ &= \frac{n^3+3n^2+2n}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \end{aligned} $$

ここで $n \geqq 3$ であるから、

$$ \frac{n(n+1)(n+2)}{6}>0 $$

である。

したがって、

$$ \text{積が }3\text{ の倍数である確率} > \text{和が }3\text{ の倍数でない確率} $$

である。

解説

この問題では、実際の数字そのものではなく、$3$ で割った余りだけが重要である。

$1$ から $3n$ までには、余り $0,1,2$ の数がそれぞれ同数の $n$ 個ずつ存在する。この対称性を使うと、和が $3$ の倍数になる条件を余りの組だけで処理できる。

(3)では、確率をそれぞれ直接整理してもよいが、差を取ると比較が簡単になる。差の分子が

$$ \frac{n(n+1)(n+2)}{6} $$

となり正であることから、大小関係が確定する。

答え

(1)

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{(n-1)(n-2)}{3(3n-1)(3n-2)} \end{aligned} $$

(2)

$$ \begin{aligned} \frac{3{}_{n}\mathrm{C}_{3}+n^3}{{}_{3n}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{3n^2-3n+2}{(3n-1)(3n-2)} \end{aligned} $$

(3)

$$ \text{積が }3\text{ の倍数である確率の方が大きい} $$