数学A 確率 問題 63 解説

方針・初手

(1) は、取り出した順にできる4桁の整数を $abcd$ として、$1987$ と左から順に比較する。

(2) は、9個の玉をすべて取り出す順序を、$1$ から $9$ までの番号の並べ替えとみなす。新しく付けられる番号と最初の番号が一致する玉は、並べ替えにおける固定点である。

解法1

(1)

取り出した順にできる4桁の整数を $abcd$ とする。使える数字は $1,2,\ldots,9$ であり、同じ数字は2回使えない。

$abcd<1987$ となるには、千の位は $1$ でなければならない。千の位が $2$ 以上なら $1987$ より大きくなる。

したがって、まず $a=1$ とする。

百の位 $b$ について場合分けする。

(i)

$b=2,3,\ldots,8$ のとき

このとき $1bcd<1900<1987$ であるから、十の位と一の位は残りの数字から順に選べばよい。

$b$ の選び方は $7$ 通りである。$a,b$ を使ったあと、残りは $7$ 個なので、$c,d$ の選び方は

$$ 7 \times 6=42 $$

通りである。

よって、この場合は

$$ 7 \times 42=294 $$

通りである。

(ii)

$b=9$ のとき

このとき $19cd<1987$ を考える。

十の位 $c$ が $8$ より小さければよい。$1,9$ はすでに使っているので、

$$ c=2,3,4,5,6,7 $$

の $6$ 通りである。このとき $d$ は残りの $6$ 個から選べるので、

$$ 6 \times 6=36 $$

通りである。

次に、$c=8$ のときは、$198d<1987$ でなければならない。したがって

$$ d=2,3,4,5,6 $$

の $5$ 通りである。

以上より、求める個数は

$$ 294+36+5=335 $$

通りである。

(2)

9個の玉をすべて順に取り出す操作は、$1,2,\ldots,9$ の並べ替えを1つ作ることと同じである。

例えば、最初に番号 $3$ の玉が出たなら、その玉には新しく番号 $1$ が付く。新しい番号と元の番号が一致するとは、並べ替えにおいて「位置と数字が一致する」ことである。

したがって、ちょうど5個一致する場合を数える。

まず、一致する5個の玉を選ぶ。これは

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{5} $$

通りである。

残り4個の玉については、1つも一致してはいけない。つまり、4個の完全順列を数えればよい。

4個の完全順列の個数は、包除原理により

$$ 4!-{}_{4}\mathrm{C}_{1}3!+{}_{4}\mathrm{C}_{2}2!-{}_{4}\mathrm{C}_{3}1!+{}_{4}\mathrm{C}_{4}0! $$

である。これを計算すると

$$ 24-24+12-4+1=9 $$

である。

よって、ちょうど5個一致する並べ替えの個数は

$$ {}_{9}\mathrm{C}_{5}\times 9=126\times 9=1134 $$

である。

全体の並べ替えの個数は

$$ 9! $$

であるから、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1134}{9!} &= \frac{1134}{362880} \\ \frac{1}{320} \end{aligned} $$

である。

解説

(1) は、4桁の整数を $1987$ と比較する問題である。左から順に比較すればよく、千の位が $1$ に固定されることに気づけば、あとは百の位、十の位、一の位で場合分けすればよい。

(2) は、取り出す順序を「元の番号の並べ替え」と見るのが核心である。新しく付けられる番号と元の番号が一致する玉は固定点なので、「9個の並べ替えで固定点がちょうど5個ある確率」を求める問題になる。残り4個は1つも一致してはいけないため、完全順列を使う。

答え

(1)

$335$ 通り

(2)

$\dfrac{1}{320}$