数学A 確率 問題 64 解説

方針・初手

条件は、各人がどのカードを引いたかではなく、「男性6人が受け取った6枚のカードの種類」によって決まる。

したがって、12枚のカードのうち男性が引いた6枚を選ぶと考える。全事象は

$$ {}_{12}\mathrm{C}_{6} $$

通りである。

A, B, C の各カードはそれぞれ4枚ずつあるので、男性が A, B, C をそれぞれ何枚引いたかを数える。

解法1

男性が引いた A, B, C の枚数をそれぞれ $x_A,x_B,x_C$ とする。このとき

$$ x_A+x_B+x_C=6 $$

であり、各 $x_A,x_B,x_C$ は $0$ 以上 $4$ 以下の整数である。

(1)

A と書かれたカード4枚をすべて男性が引くには、男性が引く6枚の中に A の4枚がすべて含まれればよい。

残り2枚は、B と C の合計8枚の中から選べばよいので、その選び方は

$$ {}_{8}\mathrm{C}_{2} $$

通りである。

よって求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{8}\mathrm{C}_{2}}{{}_{12}\mathrm{C}_{6}} &= \frac{28}{924} \\ \frac{1}{33} \end{aligned} $$

である。

(2)

「A, B, C のうち、少なくとも1種類のカード4枚をすべて男性またはすべて女性が引く」という条件を直接数えるより、その余事象を考える。

余事象は、A, B, C のどの種類についても、4枚すべてを男性が引くこともなく、4枚すべてを女性が引くこともない場合である。

ある種類について、男性がそのカードを $x$ 枚引くとすると、

• $x=4$ なら、その種類の4枚すべてを男性が引いている。
• $x=0$ なら、その種類の4枚すべてを女性が引いている。

したがって余事象では、各種類について

$$ x_A,x_B,x_C \in {1,2,3} $$

でなければならない。

さらに男性が引くカードは合計6枚だから、

$$ x_A+x_B+x_C=6 $$

である。

$x_A,x_B,x_C$ がすべて $1,2,3$ のいずれかで、和が6になる場合は

$$ (2,2,2) $$

または

$$ (1,2,3) $$

の並べ替えである。

(i)

$(x_A,x_B,x_C)=(2,2,2)$ の場合

A, B, C からそれぞれ2枚ずつ男性が引くので、選び方は

$$ \begin{aligned} {}_{4}\mathrm{C}_{2}^3 &= 6^3 \\ 216 \end{aligned} $$

通りである。

(ii)

$(x_A,x_B,x_C)$ が $(1,2,3)$ の並べ替えの場合

$(1,2,3)$ の並べ方は $3!=6$ 通りある。

1つの並べ方について、選び方は

$$ \begin{aligned} {}_{4}\mathrm{C}_{1}{}_{4}\mathrm{C}_{2}{}_{4}\mathrm{C}_{3} &= 4\cdot 6\cdot 4 \\ 96 \end{aligned} $$

通りである。

したがって、この場合の選び方は

$$ \begin{aligned} 6\cdot 96 &= 576 \end{aligned} $$

通りである。

よって余事象の総数は

$$ 216+576=792 $$

通りである。

全事象は

$$ {}_{12}\mathrm{C}_{6}=924 $$

通りだから、余事象の確率は

$$ \begin{aligned} \frac{792}{924} &= \frac{6}{7} \end{aligned} $$

である。

したがって求める確率は

$$ \begin{aligned} 1-\frac{6}{7} &= \frac{1}{7} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、個々の男性・女性を区別して考える必要はない。条件は「男性全体がどの6枚を引いたか」だけで決まるため、12枚の中から男性が引く6枚を選ぶ問題に置き換えるのが自然である。

(2) は「少なくとも1種類」という条件があるため、直接数えると重複が発生しやすい。そこで、「どの種類も4枚すべて男性または女性に偏らない」という余事象を数えると、各種類の男性側の枚数が $1,2,3$ に制限され、場合分けが少なくなる。

答え

(1)

$$ \frac{1}{33} $$

(2)

$$ \frac{1}{7} $$