数学A 確率 問題 70 解説

方針・初手

引く順番は、$0$ のカードが出た位置だけで決まる。そこで、$0$ の位置を $k$ 番目とし、残り $6$ か所に $1,1,1,2,2,2$ を並べると考える。

$0$ の位置は $7$ 通り、残り $6$ か所のうち $1$ の位置を $3$ か所選べば数字列が定まるので、全事象は

$$ 7{}_{6}\mathrm{C}_{3}=140 $$

通りである。どの数字列も同確率である。

解法1

$0$ が出るまでは、A君、B君が交互に引く。$0$ が出たときだけ、次も同じ人が引くので、そこから後は順番の偶奇が入れ替わる。

また、$0$ を引いた人の得点は、$0$ を引く前までに自分が引いたカードの数字の合計である。したがって、$0$ を引いた後にその人がさらに引いたカードは、その人の得点には入らない。

$0$ が $k$ 番目に出るとして、A君・B君の得点に入るカードの枚数を調べると、次のようになる。

ここで、固定された $m$ か所の数字の和が $s$ になるように、残り $6$ か所へ $1,1,1,2,2,2$ を並べる通り数を $N(m,s)$ とする。

その $m$ か所に含まれる $2$ の枚数を $r$ とすると、和は

$$ s=(m-r)\cdot 1+r\cdot 2=m+r $$

であるから、

$$ r=s-m $$

である。よって

$$ N(m,s)={}_{m}\mathrm{C}_{s-m}{}_{6-m}\mathrm{C}_{3-(s-m)} $$

となる。ただし、二項係数の下の数が範囲外のときは $0$ とする。

まず、$X=1$ となる場合を数える。

A君の得点に入る枚数は、上の表より $0,3,1,3,2,3,3$ 枚である。したがって

$$ \begin{aligned} #{X=1} &=N(0,1)+N(3,1)+N(1,1)+N(3,1)\\ &\quad+N(2,1)+N(3,1)+N(3,1)\\ &=0+0+{}_{1}\mathrm{C}_{0}{}_{5}\mathrm{C}_{3}+0+0+0+0\\ &=10 \end{aligned} $$

である。よって

$$ P(X=1)=\frac{10}{140}=\frac{1}{14} $$

である。

次に、$X=2$ となる場合を数える。

$$ \begin{aligned} #{X=2} &=N(0,2)+N(3,2)+N(1,2)+N(3,2)\\ &\quad+N(2,2)+N(3,2)+N(3,2)\\ &=0+0+{}_{1}\mathrm{C}_{1}{}_{5}\mathrm{C}_{2}+0+{}_{2}\mathrm{C}_{0}{}_{4}\mathrm{C}_{3}+0+0\\ &=10+4\\ &=14 \end{aligned} $$

したがって

$$ P(X=2)=\frac{14}{140}=\frac{1}{10} $$

である。

最後に、$Y=5$ となる場合を数える。

B君の得点に入る枚数は、上の表より $3,0,3,1,3,2,3$ 枚である。$m=0,1,2$ のとき、和 $5$ は作れない。したがって、$m=3$ の場合だけを数えればよい。

$$ N(3,5)={}_{3}\mathrm{C}_{2}{}_{3}\mathrm{C}_{1}=9 $$

である。$m=3$ となるのは $k=1,3,5,7$ の $4$ 通りなので、

$$ #{Y=5}=4\cdot 9=36 $$

である。よって

$$ P(Y=5)=\frac{36}{140}=\frac{9}{35} $$

である。

解説

この問題では、各カードの数字を直接追いかけるより、まず $0$ の位置によって「誰の得点に何枚分入るか」を決めるのが本質である。

$0$ を引くと次も同じ人が引くため、$0$ の後ではA君・B君の順番が通常の交互順からずれる。また、$0$ を引いた人は $0$ 以前のカードだけが得点になるので、$0$ の後に引いたカードをその人の得点に入れてはいけない。この点を誤ると数え上げが大きくずれる。

あとは、固定された $m$ 枚の合計が指定された値になるように、$1$ と $2$ の枚数を決めて数えればよい。

答え

(1)

$$ \frac{1}{14} $$

(2)

$$ \frac{1}{10} $$

(3)

$$ \frac{9}{35} $$