数学A 確率 問題 69 解説

方針・初手

同じ数字が2個ずつあるので、玉そのものは区別できるものとして数える。ただし、積の条件は取り出した数字の組だけで決まるため、順序が関係しない部分では組合せで数える。

(3)では「1個目から3個目」と「4個目から6個目」が区別されるので、前半3個の組と後半3個の組を順序つきで数える。

解法1

(1)

2個の玉に書かれている数の積が $10$ になるのは、数字の組が $2,5$ のときだけである。

数字 $2$ の玉は2個、数字 $5$ の玉も2個あるから、このような取り出し方は

$$ 2 \cdot 2 = 4 $$

通りである。

一方、10個の玉から2個を取り出す方法は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{2}=45 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{4}{45} $$

である。

(2)

4個の玉に書かれた数の積が $100$ になる場合を考える。

$$ 100=2^2\cdot 5^2 $$

であるから、数字 $3$ は含まれない。また、数字 $5$ はちょうど2個必要である。

残り2個の数字の積が $4$ になればよいので、可能な組は

$$ 2,2 $$

または

$$ 1,4 $$

である。

したがって、可能な数字の組は

$$ 2,2,5,5 $$

または

$$ 1,4,5,5 $$

である。

それぞれの場合の玉の選び方を数える。

$$ 2,2,5,5 $$

の場合は、数字 $2$ の玉2個と数字 $5$ の玉2個をすべて選ぶので、選び方は

$$ 1 $$

通りである。

$$ 1,4,5,5 $$

の場合は、数字 $1$ の玉を2個のうちから1個、数字 $4$ の玉を2個のうちから1個、数字 $5$ の玉を2個とも選ぶので、選び方は

$$ {}_{2}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{2}=4 $$

通りである。

よって、有利な選び方は

$$ 1+4=5 $$

通りである。

全体の選び方は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{4}=210 $$

通りであるから、求める確率は

$$ \frac{5}{210}=\frac{1}{42} $$

である。

(3)

前半3個の玉の組と後半3個の玉の組を分けて考える。各組の中の順序は積に影響しない。

前半3個を選び、続いて残り7個から後半3個を選ぶと考えると、全体の場合の数は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3}{}_{7}\mathrm{C}_{3}=120\cdot 35=4200 $$

通りである。

まず、前半3個と後半3個が同じ数字の組になる場合を数える。ただし、各数字の玉は2個ずつしかないので、同じ数字を2個含む組を前半と後半の両方に作ることはできない。

したがって、同じ数字の組になる場合は、3個の数字がすべて異なる場合に限られる。

$1,2,3,4,5$ から異なる3種類を選ぶ方法は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{3}=10 $$

通りである。

その1つについて、前半に入れる玉は各数字について2個のうち1個ずつ選べるので

$$ 2^3=8 $$

通りである。後半は残った玉で決まる。

よって、この場合は

$$ 10\cdot 8=80 $$

通りである。

次に、前半と後半の数字の組が異なるが、積が等しくなる場合を調べる。

3個の数字の組で、異なる組なのに積が等しくなるものを整理すると、次のものが候補である。

$$ {1,1,4},{1,2,2} $$

$$ {1,3,4},{2,2,3} $$

$$ {1,4,4},{2,2,4} $$

$$ {1,4,5},{2,2,5} $$

このうち、前半と後半を合わせたときに同じ数字の玉が3個以上必要になるものは不可能である。

$$ {1,1,4},{1,2,2} $$

では数字 $1$ が合計3個必要になるので不可能である。

$$ {1,4,4},{2,2,4} $$

では数字 $4$ が合計3個必要になるので不可能である。

したがって、可能なのは

$$ {1,3,4},{2,2,3} $$

と

$$ {1,4,5},{2,2,5} $$

である。

まず

$$ {1,3,4},{2,2,3} $$

を考える。

前半が ${1,3,4}$、後半が ${2,2,3}$ のとき、前半の選び方は

$$ 2\cdot 2\cdot 2=8 $$

通りであり、後半は数字 $2$ の玉2個と残った数字 $3$ の玉を選ぶので1通りである。よって

$$ 8 $$

通りである。

逆に、前半が ${2,2,3}$、後半が ${1,3,4}$ のとき、前半の選び方は

$$ {}_{2}\mathrm{C}_{2}{}_{2}\mathrm{C}_{1}=2 $$

通りである。その後、後半では数字 $1$ を2通り、数字 $3$ は残った1個、数字 $4$ を2通りに選べるので

$$ 2\cdot 1\cdot 2=4 $$

通りである。よって

$$ 2\cdot 4=8 $$

通りである。

したがって、この組から

$$ 8+8=16 $$

通りが得られる。

同様に、

$$ {1,4,5},{2,2,5} $$

についても、前後を入れ替えた場合を含めて

$$ 16 $$

通りである。

以上より、有利な場合の数は

$$ 80+16+16=112 $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{112}{4200}=\frac{2}{75} $$

である。

解説

この問題では、同じ数字が2個ずつあるため、数字の組だけでなく「その数字の玉を何通りに選べるか」を数える必要がある。

(1)、(2)は取り出す順序が積に影響しないので、単純に組合せで数えればよい。

(3)は「前半3個」と「後半3個」が区別される点が重要である。前半の3個の組と後半の3個の組を順序つきで考え、同じ積になる組を分類する。特に、同じ数字の玉は2個までしかないため、同じ数字が合計3個以上必要になる場合を除外することが要点である。

答え

(1)

$$ \frac{4}{45} $$

(2)

$$ \frac{1}{42} $$

(3)

$$ \frac{2}{75} $$