数学A 確率 問題 73 解説

方針・初手

同じ番号のカードが2枚ずつあるので、番号そのものではなく「カードの枚数」で数える。

$1$から$40$までの整数を$3$で割った余りで分類すると、

$$ \begin{array}{c|ccc} \text{余り} & 0 & 1 & 2 \\ \hline \text{番号の個数} & 13 & 14 & 13 \\ \text{カードの枚数} & 26 & 28 & 26 \end{array} $$

である。

3枚を同時に取り出すので、全事象の数は

$$ {}_{80}\mathrm{C}_{3} $$

である。

解法1

全事象の数は

$$ \begin{aligned} {}_{80}\mathrm{C}_{3} &= \frac{80\cdot79\cdot78}{6} \\ 82160 \end{aligned} $$

である。

（1） 3つの番号がすべて$3$の倍数であるためには、余り$0$のカード$26$枚から3枚を選べばよい。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{26}\mathrm{C}_{3}}{{}_{80}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{2600}{82160} \\ \frac{65}{2054} \end{aligned} $$

である。

（2） 3つの番号の積が$3$の倍数であるためには、少なくとも1枚は$3$の倍数の番号のカードを含めばよい。

その余事象は、3枚すべてが$3$の倍数でない場合である。$3$の倍数でないカードは

$$ 28+26=54 $$

枚あるので、余事象の数は

$$ {}_{54}\mathrm{C}_{3} $$

である。

よって、求める確率は

$$ \begin{aligned} 1-\frac{{}_{54}\mathrm{C}_{3}}{{}_{80}\mathrm{C}_{3}} &= 1-\frac{24804}{82160} \\ \frac{57356}{82160} \\ \frac{1103}{1580} \end{aligned} $$

である。

（3） 3つの番号の和が$3$の倍数であるかどうかは、各番号を$3$で割った余りだけで決まる。

和が$3$の倍数になる余りの組は、

$$ (0,0,0),\quad (1,1,1),\quad (2,2,2),\quad (0,1,2) $$

である。

それぞれの場合の選び方は、

$$ {}_{26}\mathrm{C}_{3},\quad {}_{28}\mathrm{C}_{3},\quad {}_{26}\mathrm{C}_{3},\quad 26\cdot28\cdot26 $$

である。

したがって、条件を満たす選び方の総数は

$$ {}_{26}\mathrm{C}_{3} + {}_{28}\mathrm{C}_{3} + {}_{26}\mathrm{C}_{3} + 26\cdot28\cdot26 $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} 2600+3276+2600+18928 &= 27404 \end{aligned} $$

となる。

よって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{27404}{82160} &= \frac{527}{1580} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、同じ番号のカードが2枚ずつあるため、$1$から$40$までの番号の個数だけで数えると誤る。実際に取り出す対象はカードなので、各余りのカード枚数を$26,28,26$として処理する必要がある。

積が$3$の倍数である条件は「少なくとも1つが$3$の倍数」であるため、余事象を使うと簡潔に数えられる。

和が$3$の倍数である条件は、余りの組を列挙するのが基本である。特に$(0,1,2)$の場合は、各余りのカードを1枚ずつ選ぶため、$26\cdot28\cdot26$通りとなる。

答え

(1)

$$ \frac{65}{2054} $$

(2)

$$ \frac{1103}{1580} $$

(3)

$$ \frac{527}{1580} $$