数学A 確率 問題 75 解説

方針・初手

5個の玉の選び方は、取り出す順序を考えないので全体で

$$ {}_{10}C_5=252 $$

通りである。

取り出した5個を小さい順に $X_1<X_2<X_3<X_4<X_5$ と見ると、各条件は「5個の部分集合」に対する条件として数えられる。

解法1

(1) $X_3=8$ となる確率

$X_3=8$ であるためには、取り出した5個の中に $8$ が含まれ、$8$ より小さい数がちょうど2個、$8$ より大きい数がちょうど2個含まれればよい。

$8$ より小さい数は $1,2,\ldots,7$ の7個、$8$ より大きい数は $9,10$ の2個である。したがって条件を満たす選び方は

$$ {}*{7}C_2\cdot{}*{2}C_2=21 $$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{21}{252}=\frac{1}{12} $$

である。

(2) $X_5-X_1=7$ となる確率

$X_5-X_1=7$ であるから、最小値を $X_1=a$ とすると、最大値は $X_5=a+7$ である。

$1\leq a$ かつ $a+7\leq 10$ より、

$$ a=1,2,3 $$

である。

最小値 $a$ と最大値 $a+7$ を固定すると、残りの3個は

$$ a+1,a+2,\ldots,a+6 $$

の6個から選べばよい。したがって、各 $a$ について

$$ {}_{6}C_3=20 $$

通りある。

$a$ は3通りなので、条件を満たす選び方は

$$ 3\cdot{}_{6}C_3=60 $$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{60}{252}=\frac{5}{21} $$

である。

(3) $X_1$ が $X_3$ の約数で、かつ $X_3$ が $X_5$ の約数となる確率

$X_3$ は5個のうち3番目に小さい数なので、$X_3$ より小さい数が2個、$X_3$ より大きい数が2個選ばれている。

また、$X_3$ が $X_5$ の約数であり、$X_5>X_3$ かつ $X_5\leq 10$ である。したがって $X_3$ として可能性があるのは

$$ X_3=3,4,5 $$

である。これらについて場合分けして数える。

(i)

$X_3=3$ のとき

$3$ より小さい数は $1,2$ の2個しかないので、必ず $1,2$ を選ぶ。このとき $X_1=1$ であり、$1$ は $3$ の約数である。

また、$3$ の倍数で $3$ より大きく $10$ 以下のものは $6,9$ である。

$X_5=6$ のとき、$X_4$ は $4,5$ から選ぶので2通り。

$X_5=9$ のとき、$X_4$ は $4,5,6,7,8$ から選ぶので5通り。

よってこの場合は

$$ 2+5=7 $$

通りである。

(ii)

$X_3=4$ のとき

$4$ より小さい数 $1,2,3$ から2個を選ぶ。選んだ2個のうち小さい方が $X_1$ である。

選び方は

$$ {1,2},{1,3},{2,3} $$

の3通りであり、それぞれ $X_1=1,1,2$ となる。いずれも $4$ の約数である。

また、$4$ の倍数で $4$ より大きく $10$ 以下のものは $8$ のみであるから、$X_5=8$ である。

このとき $X_4$ は $5,6,7$ から選ぶので3通り。

よってこの場合は

$$ 3\cdot 3=9 $$

通りである。

(iii)

$X_3=5$ のとき

$5$ より小さい数 $1,2,3,4$ から2個を選ぶ。$X_1$ が $5$ の約数である必要があるが、$5$ より小さい $5$ の約数は $1$ だけである。

したがって、選ぶ2個のうち小さい方が $1$ でなければならない。可能な選び方は

$$ {1,2},{1,3},{1,4} $$

の3通りである。

また、$5$ の倍数で $5$ より大きく $10$ 以下のものは $10$ のみであるから、$X_5=10$ である。

このとき $X_4$ は $6,7,8,9$ から選ぶので4通り。

よってこの場合は

$$ 3\cdot 4=12 $$

通りである。

以上より、条件を満たす選び方は

$$ 7+9+12=28 $$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{28}{252}=\frac{1}{9} $$

である。

解説

この問題では、5個を同時に取り出すので、順列ではなく組合せで数えるのが基本である。取り出した後に小さい順へ並べるだけなので、1つの選び方がただ1つの $(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)$ に対応する。

(1) は中央値 $X_3$ を固定し、その前後に何個ずつ必要かを数える問題である。

(2) は最小値と最大値の差を固定し、端を決めてから中の3個を選ぶ問題である。

(3) は約数条件が $X_1,X_3,X_5$ にまたがるため、まず $X_3$ を固定するのが有効である。特に $X_3$ が $X_5$ の約数であることから、$X_3$ の候補が $3,4,5$ に限られる点が重要である。

答え

(1)

$$ \frac{1}{12} $$

(2)

$$ \frac{5}{21} $$

(3)

$$ \frac{1}{9} $$