数学A 確率 問題 76 解説

方針・初手

$ab$ と $cd$ はそれぞれ独立に決まるので、まず $2$ 回のさいころの積 $xy$ の分布を調べる。 その分布を用いて、$(1)$ は $ab$ が $cd+25$ 以上になる場合を数え、$(2)$ は $ab$ と $cd$ が同じ値になる場合を数える。

解法1

さいころを $2$ 回振って出た目を $x,y$ とするとき、積 $xy$ の値と、その出方の個数は次の通りである。

これは、例えば $6$ は $(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$ の $4$ 通りである、というように数えたものである。

全事象は、$a,b,c,d$ のそれぞれが $1$ から $6$ までの値をとるので、

$$ 6^4=1296 $$

通りである。

（1） $ab \geqq cd+25$ となる確率

$cd$ の値を固定して考える。条件は

$$ ab \geqq cd+25 $$

である。$ab$ の最大値は $36$ なので、$cd+25 \leqq 36$、すなわち

$$ cd \leqq 11 $$

の場合だけを調べればよい。

したがって、$cd$ として考えるべき値は

$$ 1,2,3,4,5,6,8,9,10 $$

である。

それぞれについて、$ab \geqq cd+25$ となる $ab$ の出方を数える。

ここで、例えば $ab \geqq 26$ となるのは $ab=30,36$ の場合であり、出方は

$$ (5,6),(6,5),(6,6) $$

の $3$ 通りである。

よって、条件を満たす場合の数は

$$ \begin{aligned} &1\cdot 3+2\cdot 3+2\cdot 3+3\cdot 3+2\cdot 3+4\cdot 1+2\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot 1 \\ &=3+6+6+9+6+4+2+1+2 \\ &=39 \end{aligned} $$

である。

したがって求める確率は

$$ \frac{39}{1296}=\frac{13}{432} $$

である。

（2） $ab=cd$ となる確率

$ab=cd$ となるには、$ab$ と $cd$ の積の値が一致すればよい。

積 $n$ の出方が $m$ 通りであるとき、$ab=n$ かつ $cd=n$ となる場合の数は $m^2$ 通りである。

したがって、条件を満たす場合の数は、上の表の個数の平方和をとればよい。

$$ \begin{aligned} &1^2+2^2+2^2+3^2+2^2+4^2+2^2+1^2+2^2+4^2 \\ &\quad +2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+1^2+2^2+1^2 \\ &=86 \end{aligned} $$

よって求める確率は

$$ \frac{86}{1296}=\frac{43}{648} $$

である。

解説

この問題では、$a,b,c,d$ を直接 $4$ 変数として扱うよりも、$ab$ と $cd$ という「$2$ 回のさいころの積」に注目するのがよい。

特に $(2)$ は、$ab=cd$ だからといって $(a,b)=(c,d)$ でなければならないわけではない。例えば

$$ 1\cdot 6=2\cdot 3 $$

のように、異なる出方でも積が等しくなる場合がある。ここを見落とすと確率を小さく数えてしまう。

$(1)$ では、$ab$ の最大値が $36$ であることから、$cd$ が大きい場合を最初に除外できる。このように範囲を絞ってから表で数えると、計算量を減らせる。

答え

(1)

$$ \frac{13}{432} $$

(2)

$$ \frac{43}{648} $$