数学A 確率 問題 78 解説

方針・初手

さいころの出目は $1,2,3,4,5,6$ であり、$X=M-L$ は「最大値と最小値の差」である。

$X=1$ では、出目全体が隣り合う2つの数だけからなり、しかもその2つが両方出る必要がある。

$X=5$ では、最小値が $1$、最大値が $6$ でなければならない。したがって、$1$ と $6$ が少なくとも1回ずつ出る場合を数えればよい。

解法1

全事象は、さいころを $n$ 回振るので

$$ 6^n $$

通りである。

(1)

$X=1$ である場合を考える。

最大値と最小値の差が $1$ になるためには、出目全体が

$$ {1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{5,6} $$

のいずれか1組に含まれ、さらにその2つの数が両方とも出なければならない。

例えば、出目が ${k,k+1}$ のみに含まれる場合は $2^n$ 通りある。このうち、すべて $k$ である場合と、すべて $k+1$ である場合は最大値と最小値の差が $0$ になるので除く。

したがって、固定した組 ${k,k+1}$ に対して、条件を満たす並びは

$$ 2^n-2 $$

通りである。

このような隣り合う組は $5$ 組あるので、$X=1$ となる場合の数は

$$ 5(2^n-2) $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{5(2^n-2)}{6^n} $$

である。

(2)

$X=5$ である場合を考える。

さいころの出目の最大値と最小値の差が $5$ になるのは、最小値が $1$、最大値が $6$ のときだけである。つまり、$n$ 回の出目の中に $1$ と $6$ が少なくとも1回ずつ含まれればよい。

全体 $6^n$ 通りから、$1$ が一度も出ない場合と $6$ が一度も出ない場合を除く。

$1$ が一度も出ない場合は、各回の出目が $2,3,4,5,6$ の $5$ 通りなので

$$ 5^n $$

通りである。

同様に、$6$ が一度も出ない場合も

$$ 5^n $$

通りである。

ただし、$1$ も $6$ も一度も出ない場合、すなわち出目が $2,3,4,5$ のみに限られる場合を二重に引いている。この場合は

$$ 4^n $$

通りである。

したがって、$1$ と $6$ が少なくとも1回ずつ出る場合の数は

$$ 6^n-2\cdot 5^n+4^n $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{6^n-2\cdot 5^n+4^n}{6^n} $$

である。

解説

$X=M-L$ は出目の「幅」を表す量である。

$X=1$ では、出目の種類が隣り合う2種類に限定されるだけでなく、その2種類がどちらも出ていなければならない点に注意する。すべて同じ出目の場合は $X=0$ であり、$X=1$ には含まれない。

$X=5$ では、さいころの出目の範囲が $1$ から $6$ までしかないため、最大差 $5$ を作るには $1$ と $6$ が両方出るしかない。ここでは包除原理を使うのが最も自然である。

答え

(1)

$$ \frac{5(2^n-2)}{6^n} $$

(2)

$$ \frac{6^n-2\cdot 5^n+4^n}{6^n} $$