数学A 確率 問題 79 解説

方針・初手

$3$ 個のサイコロの出方は全部で

$$ 6^3=216 $$

通りである。積 $X$ の性質は、各目に含まれる素因数に注目して数える。

解法1

$X$ が奇数であるためには、$3$ 個の目がすべて奇数であればよい。サイコロの奇数の目は $1,3,5$ の $3$ 個なので、場合の数は

$$ 3^3=27 $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{27}{216}=\frac{1}{8} $$

である。

次に、$X$ が素数である場合を考える。$X$ は $3$ 個の自然数の積なので、素数になるためには、$1$ 個だけが素数で、残り $2$ 個が $1$ でなければならない。

サイコロの目のうち素数は $2,3,5$ の $3$ 個である。素数が出る位置は $3$ 通りあるから、場合の数は

$$ 3 \times 3=9 $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{9}{216}=\frac{1}{24} $$

である。

次に、$X$ が $5$ の倍数である場合を考える。$1$ から $6$ の目のうち、$5$ の因数をもつ目は $5$ だけである。したがって、少なくとも $1$ 個のサイコロで $5$ が出ればよい。

全体から、$5$ が一度も出ない場合を引くと、場合の数は

$$ 6^3-5^3=216-125=91 $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{91}{216} $$

である。

次に、$X$ が $25$ の倍数である場合を考える。$25=5^2$ なので、少なくとも $2$ 個のサイコロで $5$ が出る必要がある。

$5$ がちょうど $2$ 個出る場合は、残り $1$ 個が $5$ 以外であればよいので、

$$ {}_3C_2 \times 5=15 $$

通りである。$5$ が $3$ 個出る場合は $1$ 通りである。したがって場合の数は

$$ 15+1=16 $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{16}{216}=\frac{2}{27} $$

である。

最後に、$X$ が $10$ の倍数である場合を考える。$10=2 \times 5$ なので、積 $X$ が $2$ の因数と $5$ の因数をどちらも含めばよい。

つまり、少なくとも $1$ 個の目が $5$ であり、かつ少なくとも $1$ 個の目が偶数であればよい。

全体から、「$5$ が出ない場合」と「偶数が出ない場合」を引く。ただし、両方を同時に満たす場合を引きすぎるので足し戻す。

$5$ が出ない場合は

$$ 5^3=125 $$

通りである。

偶数が出ない場合、つまりすべて $1,3,5$ のいずれかである場合は

$$ 3^3=27 $$

通りである。

$5$ も偶数も出ない場合、つまりすべて $1,3$ のいずれかである場合は

$$ 2^3=8 $$

通りである。

したがって、$X$ が $10$ の倍数である場合の数は

$$ 216-125-27+8=72 $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{72}{216}=\frac{1}{3} $$

である。

解説

積の倍数判定では、各目の値そのものよりも素因数を見るのが重要である。

特に、$5$ の因数をもつ目は $5$ しかないため、$5$ の倍数や $25$ の倍数の条件は「何個の $5$ が出るか」に帰着する。また、$10$ の倍数では $2$ の因数と $5$ の因数の両方が必要なので、包除原理で数えると整理しやすい。

答え

カ：

$$ \frac{1}{8} $$

キ：

$$ \frac{1}{24} $$

ク：

$$ \frac{91}{216} $$

ケ：

$$ \frac{2}{27} $$

コ：

$$ \frac{1}{3} $$