数学A 確率 問題 81 解説

方針・初手

A の玉の数を $x$、B の玉の数を $y$ とおく。$x$ は $1$ から $10$、$y$ は $1$ から $6$ の値をとるので、起こりうる組 $(x,y)$ は全部で

$$ 10 \times 6 = 60 $$

通りであり、いずれも同様に確からしい。

各場合について、B の得点が A の得点より大きくなる組 $(x,y)$ の個数を数えればよい。

解法1

(1) 場合 (a)

この場合、A の得点は $x$、B の得点は $y$ である。したがって、B が勝つ条件は

$$ y>x $$

である。

$y$ の値ごとに、$x<y$ となる $x$ の個数を数える。

$$ \begin{array}{c|cccccc} y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline x<y \text{ となる } x \text{ の個数} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} $$

よって、B が勝つ組の個数は

$$ 0+1+2+3+4+5=15 $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{15}{60}=\frac{1}{4} $$

である。

(2) 場合 (b)

この場合、A の得点は $x$、B の得点は $2y$ である。したがって、B が勝つ条件は

$$ 2y>x $$

である。

$y$ の値ごとに、$x<2y$ となる $x$ の個数を数える。

$$ \begin{array}{c|cccccc} y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2y & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ x<2y \text{ となる } x \text{ の個数} & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 \end{array} $$

ただし、$x$ は最大でも $10$ であるから、$2y=12$ のときは $x=1,2,\ldots,10$ のすべてが条件を満たす。

よって、B が勝つ組の個数は

$$ 1+3+5+7+9+10=35 $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \frac{35}{60}=\frac{7}{12} $$

である。

(3) 場合 (c)

この場合は、B の玉に書かれた数 $y$ が $3$ 以下か $4$ 以上かで得点の決め方が変わる。

(i)

$y\leqq 3$ のとき

A の得点は $y$、B の得点は $x$ である。したがって、B が勝つ条件は

$$ x>y $$

である。

$y=1,2,3$ について数えると、

$$ \begin{array}{c|ccc} y & 1 & 2 & 3 \\ \hline x>y \text{ となる } x \text{ の個数} & 9 & 8 & 7 \end{array} $$

よって、この場合に B が勝つ組の個数は

$$ 9+8+7=24 $$

である。

(ii)

$y\geqq 4$ のとき

A の得点は $x$、B の得点は $y$ である。したがって、B が勝つ条件は

$$ y>x $$

である。

$y=4,5,6$ について数えると、

$$ \begin{array}{c|ccc} y & 4 & 5 & 6 \\ \hline x<y \text{ となる } x \text{ の個数} & 3 & 4 & 5 \end{array} $$

よって、この場合に B が勝つ組の個数は

$$ 3+4+5=12 $$

である。

したがって、場合 (c) で B が勝つ組の個数は

$$ 24+12=36 $$

である。

求める確率は

$$ \frac{36}{60}=\frac{3}{5} $$

である。

解説

この問題では、A と B の得点の決め方が場合ごとに変わるため、まず $x$ と $y$ を文字で置き、B が勝つ条件を不等式で表すことが重要である。

全事象は常に $60$ 通りで変わらない。あとは各得点ルールごとに、B の得点が A の得点より大きくなる組を数えるだけである。

特に (c) では、B の玉に書かれた数が $3$ 以下の場合と $4$ 以上の場合で得点の対応が入れ替わるため、ここを分けずに一つの不等式で処理しようとすると誤りやすい。

答え

(1)

$$ \frac{1}{4} $$

(2)

$$ \frac{7}{12} $$

(3)

$$ \frac{3}{5} $$