数学A 確率 問題 82 解説

方針・初手

玉を袋に戻すので、3回の取り出しは独立であり、起こりうる組 $(a,b,c)$ はすべて同様に確からしい。

したがって全事象の個数は

$$ 7^3=343 $$

である。あとは条件を満たす組の個数を数えればよい。

解法1

まず、$a<b<c$ となる場合を考える。

$a,b,c$ は $1$ から $7$ までの異なる3個の数を小さい順に並べたものに限られる。したがって、$1$ から $7$ までの中から3個を選べば、ただ1通りの $(a,b,c)$ が決まる。

よって場合の数は

$$ {}_7C_3=35 $$

である。したがって

$$ P(a<b<c)=\frac{35}{343}=\frac{5}{49} $$

である。

次に、$abc$ が偶数となる確率を求める。

積 $abc$ が奇数となるのは、$a,b,c$ がすべて奇数のときである。$1$ から $7$ までの奇数は

$$ 1,3,5,7 $$

の4個であるから、$abc$ が奇数となる場合の数は

$$ 4^3=64 $$

である。

したがって、$abc$ が偶数となる場合の数は

$$ 343-64=279 $$

であり、確率は

$$ \frac{279}{343} $$

である。

次に、$a+b+c$ が奇数となる確率を求める。

$1$ から $7$ までには、奇数が4個、偶数が3個ある。3つの数の和が奇数となるのは、奇数が出る回数が奇数回、つまり1回または3回のときである。

奇数が1回出る場合の数は

$$ {}_3C_1 \cdot 4 \cdot 3^2=108 $$

である。

奇数が3回出る場合の数は

$$ 4^3=64 $$

である。

よって、$a+b+c$ が奇数となる場合の数は

$$ 108+64=172 $$

であり、確率は

$$ \frac{172}{343} $$

である。

最後に、$a+b+c \leqq 7$ となる確率を求める。

$k=a+b$ とおく。$2 \leqq k \leqq 6$ のとき、$a+b=k$ となる正の整数の組 $(a,b)$ は

$$ (1,k-1),(2,k-2),\ldots,(k-1,1) $$

の $k-1$ 通りである。

また、$a+b+c \leqq 7$ は

$$ c \leqq 7-k $$

と同値である。$c$ は $1$ 以上の整数なので、$c \leqq 7-k$ を満たす $c$ の選び方は $7-k$ 通りである。

したがって、$a+b=k$ かつ $c \leqq 7-k$ となる場合の数は

$$ (7-k)(k-1) $$

であり、確率は

$$ \frac{(7-k)(k-1)}{343} $$

である。

これを $k=2,3,4,5,6$ について足し合わせると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{6}(7-k)(k-1) &=5\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 4+1\cdot 5\\ &=5+8+9+8+5\\ &=35 \end{aligned} $$

である。よって

$$ P(a+b+c \leqq 7)=\frac{35}{343}=\frac{5}{49} $$

である。

解説

この問題では、玉を袋に戻すため、各回の取り出しは独立であり、全体を $343$ 通りの順序つきの組として数えるのが基本である。

$a<b<c$ は「3個を選べば順序が1通りに決まる」ため組合せで数える。$abc$ の偶奇は、余事象である「すべて奇数」を使うと簡単である。$a+b+c$ の偶奇は、奇数の個数に注目する。

最後の $a+b+c \leqq 7$ は、$a+b=k$ とおいて分解するのが自然である。$a+b=k$ の組数が $k-1$ 通り、$c$ の選び方が $7-k$ 通りになる点が要点である。

答え

$$ \text{カ}=\frac{35}{343}=\frac{5}{49} $$

$$ \text{キ}=279 $$

$$ \text{ク}=172 $$

$$ \text{ケ}=k-1 $$

$$ \text{コ}=\frac{35}{343}=\frac{5}{49} $$