数学A 確率 問題 90 解説

方針・初手

まず、板の並び方と、各板の向きによる見え方を分けて数える。

各板について、表裏の選択が $2$ 通り、さらに $0^\circ$ または $180^\circ$ の回転が $2$ 通りあるので、向きは全部で $4$ 通りある。

文字列 $DAISHA$ を作るには、板の文字の並びが $D,A,I,S,H,A$ になり、かつそれぞれの文字が正しい向きに見える必要がある。

解法1

まず、6枚の板を横一列に並べる順序を考える。板に書かれている文字は

$$ A,\ A,\ D,\ H,\ I,\ S $$

である。

目標は

$$ DAISHA $$

であるから、$D,I,S,H$ の板はそれぞれ決まった位置に置く必要がある。一方、$A$ の板は2枚あるので、2枚の $A$ は互いに入れ替えてもよい。

したがって、文字の並びが $D,A,I,S,H,A$ になる確率は

$$ \frac{2!}{6!}=\frac{2}{720}=\frac{1}{360} $$

である。

次に、向きによってその文字が正しく見える確率を考える。

各板には

$$ 4 $$

通りの向きがある。

$A$ は左右対称なので、表から見ても裏から見ても $A$ に見える。ただし、$180^\circ$ 回転すると上下逆になり、$A$ には見えない。よって、$A$ が正しく $A$ に見える向きは $2$ 通りである。

同様に、$D$ は上下対称であるから、$0^\circ$ の表向きと、裏返して $180^\circ$ 回転した場合に $D$ に見える。よって、$D$ が正しく見える向きは $2$ 通りである。

$S$ は $180^\circ$ 回転しても $S$ に見えるが、裏返すと左右反転した形になる。よって、$S$ が正しく見える向きは $2$ 通りである。

一方、$H$ と $I$ は上下左右の対称性があるため、どの向きでも同じ文字に見える。したがって、それぞれ正しく見える向きは $4$ 通りである。

よって、正しい文字列に見えるための向きの確率は

$$ \begin{aligned} \frac{2}{4}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{4}{4}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{4}{4}\cdot \frac{2}{4} &= \frac{1}{16} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{360}\cdot \frac{1}{16} &= \frac{1}{5760} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、単に文字の順列だけを数えると不十分である。透明な板であるため、表裏の違いと $180^\circ$ 回転によって、同じ文字に見える場合と見えない場合がある。

特に、$H$ と $I$ はどの向きでも正しく見えるが、$A,D,S$ は $4$ 通り中 $2$ 通りだけが正しく見える。この向きの条件を並びの条件と独立に掛け合わせるのが要点である。

答え

$$ \frac{1}{5760} $$