数学A 確率 問題 89 解説

方針・初手

さいころを3回投げるので、全事象は $6^3=216$ 通りである。

1回目の目 $a$ は $1\leqq a\leqq 6$、2回目と3回目の和 $b$ は $2\leqq b\leqq 12$ である。方程式

$$ x^2-ax+b=0 $$

の解を調べるには、解と係数の関係を用いて、整数解を $m,n$ とおくのが自然である。

解法1

(1) $x=1$ を解にもつ確率

$x=1$ が解であることは、

$$ 1-a+b=0 $$

と同値である。したがって

$$ a=b+1 $$

である。

$b$ は2回目と3回目の目の和なので $b\geqq 2$ であり、また $a\leqq 6$ より $b\leqq 5$ である。よって

$$ b=2,3,4,5 $$

の場合を数えればよい。

2個のさいころの和が $2,3,4,5$ となる場合の数は、それぞれ

$$ 1,2,3,4 $$

通りである。各 $b$ に対して $a=b+1$ はただ1通りに定まるから、求める場合の数は

$$ 1+2+3+4=10 $$

である。

したがって確率は

$$ \frac{10}{216}=\frac{5}{108} $$

である。

(2) 整数解をもつときの解の性質

方程式が整数解をもつとし、その解を $m,n$ とする。解と係数の関係より

$$ m+n=a,\qquad mn=b $$

である。

ここで $a$ はさいころの目なので

$$ 1\leqq a\leqq 6 $$

であり、$b$ は2個のさいころの目の和なので

$$ 2\leqq b\leqq 12 $$

である。特に $mn=b>0$ だから、$m,n$ は同符号である。

また $m+n=a>0$ であるから、$m,n$ がともに負であることはない。よって $m,n$ はともに正の整数である。

さらに

$$ m+n=a\leqq 6 $$

である。もし $m,n$ がともに $4$ 以上ならば、

$$ m+n\geqq 8 $$

となり、$m+n\leqq 6$ に反する。したがって、少なくとも一方は $3$ 以下である。

よって、整数解をもつとき、その解はともに正の整数であり、少なくとも1つの解は $3$ 以下である。

(3) 整数解をもつ確率

(2)より、整数解を $m,n$ とすると、$m,n$ は正の整数であり、

$$ m+n=a,\qquad mn=b $$

を満たす。

また $1\leqq a\leqq 6$ だから、

$$ m+n\leqq 6 $$

である。重複を避けるため $m\leqq n$ として、正の整数の組を列挙する。

$m+n\leqq 6$ かつ $mn\geqq 2$ を満たす組は

$$ (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3) $$

である。

それぞれに対応する $(a,b)=(m+n,mn)$ は

$$ (3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(4,4),(5,6),(6,8),(6,9) $$

である。

したがって、1回目の目 $a$ はそれぞれ固定される。あとは、2回目と3回目の和が $b$ となる場合の数を足せばよい。

2個のさいころの和が $b$ となる場合の数は、$b=2,3,4,5,6,8,9$ についてそれぞれ

$$ 1,2,3,4,5,5,4 $$

である。ただし $b=4$ は $(a,b)=(5,4),(4,4)$ の2通りに現れるので、それぞれ別に数える必要がある。

よって、整数解をもつ場合の数は

$$ 1+2+3+4+3+5+5+4=27 $$

である。

全事象は $216$ 通りだから、求める確率は

$$ \frac{27}{216}=\frac{1}{8} $$

である。

解説

この問題では、$b$ が「2回目と3回目の和」であるため、同じ $b$ でも場合の数が一定ではない点に注意する必要がある。

(3)では判別式を使ってもよいが、整数解を $m,n$ とおいて

$$ m+n=a,\qquad mn=b $$

を使う方が、$a\leqq 6$ という条件を直接利用できる。そのため、正の整数の組を有限個に絞りやすい。

また、$(m,n)$ の順序を区別しないで列挙してよいのは、方程式の解の組としては $(m,n)$ と $(n,m)$ が同じ $(a,b)$ を与えるからである。一方で、さいころの2回目と3回目の順序は区別するので、和が $b$ となる出方の数は別に数える必要がある。

答え

(1)

$$ \frac{5}{108} $$

(2)

整数解をもつならば、その解はともに正の整数であり、少なくとも1つの解は $3$ 以下である。

(3)

$$ \frac{1}{8} $$