数学A 確率 問題 104 解説

方針・初手

2個の球に書かれた数を小さい方から $a<b$ とおく。条件は $b-a\geqq 50$ である。

全体は $1$ から $100$ までの中から異なる2個を選ぶ場合の数なので、まず全体の場合の数を ${}_{100}\mathrm{C}_{2}$ とし、条件を満たす組 $(a,b)$ を数える。

解法1

全体の場合の数は

$$ {}_{100}\mathrm{C}_{2}=\frac{100\cdot 99}{2}=4950 $$

である。

次に、$a<b$ かつ $b-a\geqq 50$ となる組を数える。

小さい方の数を $a$ とすると、条件 $b-a\geqq 50$ より

$$ b\geqq a+50 $$

である。また $b\leqq 100$ であるから、$a+50\leqq 100$ が必要であり、

$$ a\leqq 50 $$

である。

したがって $a=1,2,\dots,50$ のそれぞれについて、$b$ は

$$ a+50,\ a+51,\ \dots,\ 100 $$

を取り得る。

その個数は

$$ 100-(a+50)+1=51-a $$

個である。

よって条件を満たす組の総数は

$$ \sum_{a=1}^{50}(51-a) =50+49+\cdots+1 =\frac{50\cdot 51}{2} =1275 $$

である。

したがって求める確率は

$$ \frac{1275}{4950} =\frac{17}{66} $$

である。

解法2

差の絶対値が $d$ となる組を数える方法でも求められる。

$|a-b|=d$ となる組は、小さい方を $1$ から $100-d$ まで選べるので、$100-d$ 個ある。

今回は $d\geqq 50$ であるから、条件を満たす組の数は

$$ \sum_{d=50}^{99}(100-d) $$

である。

これは

$$ 50+49+\cdots+1 =\frac{50\cdot 51}{2} =1275 $$

である。

全体の場合の数は

$$ {}_{100}\mathrm{C}_{2}=4950 $$

なので、求める確率は

$$ \frac{1275}{4950} =\frac{17}{66} $$

である。

解説

この問題では、2個の球を取り出す順序は確率に影響しないため、番号の組を unordered に数えるのが自然である。

差が $50$ 以上になるには、小さい方の数が $50$ 以下でなければならない。そこに気づけば、各 $a$ に対して大きい方の数 $b$ が何通りあるかを数えるだけでよい。

また、差そのものを $d$ とおくと、$|a-b|=d$ となる組が $100-d$ 個であることから、より機械的に数えることもできる。

答え

$$ \boxed{\frac{17}{66}} $$

したがって、$\boxed{\text{ク}=\dfrac{17}{66}}$ である。