数学A 確率 問題 107 解説

方針・初手

「1の目が出る」ことを成功とみなし、3回のうち成功回数が奇数、すなわち $1$ 回または $3$ 回である確率を求める。

解法1

1回さいころを投げるとき、1の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$、1の目が出ない確率は $\dfrac{5}{6}$ である。

3回のうち、1の目が奇数回出るのは、次の2通りである。

（i） 1の目がちょうど1回出る場合

3回のうちどの1回で1の目が出るかを選ぶので、

$$ \begin{aligned} {}_3\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^2 &= 3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{25}{36} \\ \frac{75}{216} \end{aligned} $$

（ii） 1の目がちょうど3回出る場合

これは3回とも1の目が出る場合なので、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{6}\right)^3 &= \frac{1}{216} \end{aligned} $$

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{75}{216}+\frac{1}{216} &= \frac{76}{216} \\ \frac{19}{54} \end{aligned} $$

解説

この問題では、「1の目が奇数回出る」という条件を「1回または3回出る」と言い換えることが重要である。

3回投げるので、1の目が出る回数は $0,1,2,3$ 回のいずれかである。このうち奇数回は $1$ 回と $3$ 回だけであり、$2$ 回を含めない点に注意する。

答え

$$ \frac{19}{54} $$