数学A 確率 問題 106 解説

方針・初手

3枚を同時に取り出すので、取り出された番号の組はすべて等確率である。したがって、全事象を $1$ から $n$ までの番号から $3$ 個を選ぶ組合せとして数える。

条件

$$ Y-X\geqq 2,\qquad Z-Y\geqq 2 $$

は、選ばれた $3$ つの番号が互いに隣り合わないことを意味する。そこで、隣り合わない $3$ 個の選び方を数える。

解法1

取り出された番号を小さい順に

$$ X<Y<Z $$

とする。全体の選び方は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

条件を満たす場合を数えるために、

$$ a=X,\qquad b=Y-1,\qquad c=Z-2 $$

とおく。

このとき、$Y-X\geqq 2$ より

$$ X<Y-1 $$

であり、$Z-Y\geqq 2$ より

$$ Y-1<Z-2 $$

である。したがって

$$ 1\leqq a<b<c\leqq n-2 $$

が成り立つ。

逆に、$1\leqq a<b<c\leqq n-2$ を満たす $a,b,c$ を選べば、

$$ X=a,\qquad Y=b+1,\qquad Z=c+2 $$

と定めることで、

$$ Y-X=(b+1)-a\geqq 2,\qquad Z-Y=(c+2)-(b+1)\geqq 2 $$

となる。

よって、条件を満たす選び方の数は、$1$ から $n-2$ までの中から $3$ 個を選ぶ数に等しく、

$$ {}_{n-2}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{{}_{n-2}\mathrm{C}_{3}}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n-2}\mathrm{C}_{3}}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{\dfrac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}}{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}} \\ &=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、$X,Y,Z$ は取り出した順番ではなく、取り出した後に小さい順に並べた番号である。したがって、順列ではなく組合せで数えるのが自然である。

条件 $Y-X\geqq 2,\ Z-Y\geqq 2$ は、選ばれた番号の間に少なくとも $1$ つずつ空きがあることを表す。このような「隣り合わない選び方」は、番号を左へ詰める変換

$$ (X,Y,Z)\longmapsto (X,Y-1,Z-2) $$

によって、通常の $3$ 個の組合せに直せる。これにより、場合分けをせずに数えられる。

答え

$$ \boxed{\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}} $$