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数学A 確率(反復試行) 問題 1 解説

方針・初手

さいころの出目によって、各方向へ進む確率は

$$ P(\text{右})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\quad P(\text{左})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\quad P(\text{上})=\frac{1}{6},\quad P(\text{下})=\frac{1}{6} $$

である。

したがって、各問では「何回右・左・上・下へ進めば指定された点に着くか」を数え、その順序の数を掛ければよい。

解法1

右へ進む回数を $R$、左へ進む回数を $L$、上へ進む回数を $U$、下へ進む回数を $D$ とする。

最終的な座標は

$$ (R-L,\ U-D) $$

である。

(1)

さいころを $2$ 度投げて点 $(1,1)$ に到達するには、右へ $1$ 回、上へ $1$ 回進むしかない。

順序は

$$ RU,\ UR $$

の $2$ 通りである。

よって求める確率は

$$ 2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} =\frac{2}{18} =\frac{1}{9} $$

である。

(2)

さいころを $4$ 度投げて点 $(2,2)$ に到達するには、

$$ R-L=2,\quad U-D=2,\quad R+L+U+D=4 $$

を満たす必要がある。

$x$ 座標を $2$ 増やすには、少なくとも右へ $2$ 回進む必要があり、$y$ 座標を $2$ 増やすには、少なくとも上へ $2$ 回進む必要がある。合計でちょうど $4$ 回なので、

$$ R=2,\quad L=0,\quad U=2,\quad D=0 $$

しかない。

つまり、$4$ 回のうち右が $2$ 回、上が $2$ 回であればよい。その順序の数は

$$ \frac{4!}{2!2!}=6 $$

通りである。

よって求める確率は

$$ \begin{aligned} 6\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 &= 6\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{36} \\ \frac{6}{324} \\ \frac{1}{54} \end{aligned} $$

である。

(3)

さいころを $4$ 度投げて点 $(1,1)$ に到達するには、

$$ R-L=1,\quad U-D=1,\quad R+L+U+D=4 $$

を満たす必要がある。

前の $2$ 式より

$$ R=L+1,\quad U=D+1 $$

である。これを回数の合計に代入すると、

$$ (L+1)+L+(D+1)+D=4 $$

すなわち

$$ 2L+2D+2=4 $$

より

$$ L+D=1 $$

である。

したがって、場合は次の $2$ 通りに分かれる。

(i)

$L=1,\ D=0$ のとき

このとき

$$ R=2,\quad L=1,\quad U=1,\quad D=0 $$

である。

順序の数は

$$ \frac{4!}{2!1!1!}=12 $$

通りである。

この場合の確率は

$$ \begin{aligned} 12\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{1}{6}\right) &= 12\cdot \frac{1}{27}\cdot \frac{1}{6} \\ \frac{12}{162} \\ \frac{2}{27} \end{aligned} $$

である。

(ii)

$L=0,\ D=1$ のとき

このとき

$$ R=1,\quad L=0,\quad U=2,\quad D=1 $$

である。

順序の数は

$$ \frac{4!}{1!2!1!}=12 $$

通りである。

この場合の確率は

$$ \begin{aligned} 12\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{6}\right)^3 &= 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{216} \\ \frac{12}{648} \\ \frac{1}{54} \end{aligned} $$

である。

以上より、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{2}{27}+\frac{1}{54} &= \frac{4}{54}+\frac{1}{54} \\ \frac{5}{54} \end{aligned} $$

である。