数学A 確率(反復試行) 問題 2 解説

方針・初手

「1の目がちょうど $k$ 回出る確率」は二項分布である。最大となる $k$ を調べるには、隣り合う確率の比

$$ \frac{P_{k+1}}{P_k} $$

を考え、確率列がどこまで増加し、どこから減少するかを調べればよい。

解法1

さいころを $100$ 回投げるとき、1の目がちょうど $k$ 回出る確率を $P_k$ とする。

1の目が出る位置を $100$ 回のうちから $k$ 個選び、残りの $100-k$ 回では1以外の目が出ればよい。1以外の目は $5$ 通りあるから、

$$ P_k={}_{100}C_k \frac{5^{100-k}}{6^{100}} $$

である。したがって、

$$ [\text{ケ}]=5^{100-k} $$

である。

次に、この確率が最大となる $k$ を求める。隣り合う確率の比をとると、

$$ \begin{aligned} \frac{P_{k+1}}{P_k} &= \frac{{}*{100}C*{k+1}5^{99-k}}{{}_{100}C_k5^{100-k}} \\ \frac{100-k}{k+1}\cdot \frac{1}{5} \\ \frac{100-k}{5(k+1)} \end{aligned} $$

である。

確率列は、$\dfrac{P_{k+1}}{P_k}>1$ の間は増加し、$\dfrac{P_{k+1}}{P_k}<1$ となると減少する。

$$ \frac{100-k}{5(k+1)}>1 $$

を解くと、

$$ 100-k>5k+5 $$

より、

$$ 95>6k $$

である。よって

$$ k<\frac{95}{6}=15+\frac{5}{6} $$

であるから、$k=0,1,\dots,15$ では増加する。

一方、

$$ \frac{P_{k+1}}{P_k}<1 $$

となるのは

$$ k>\frac{95}{6} $$

のときである。したがって、最大となるのは $P_{16}$ であり、

$$ [\text{コ}]=16 $$

である。

次に、さいころを $n$ 回投げる場合を考える。1の目がちょうど $k$ 回出る確率を $P_k$ とすると、

$$ P_k={}_nC_k\frac{5^{n-k}}{6^n} $$

である。

同様に隣り合う確率の比をとると、

$$ \begin{aligned} \frac{P_{k+1}}{P_k} &= \frac{n-k}{5(k+1)} \end{aligned} $$

である。

最大にするような $k$ の値が2個存在するのは、ある $k$ に対して

$$ P_{k+1}=P_k $$

となるときである。このとき、

$$ \frac{P_{k+1}}{P_k}=1 $$

だから、

$$ \frac{n-k}{5(k+1)}=1 $$

である。これを解くと、

$$ n-k=5k+5 $$

より、

$$ n=6k+5 $$

である。

したがって、最大となる $k$ が2個存在するための必要十分条件は、$n$ を $6$ で割った余りが $5$ になることである。

よって、

$$ [\text{サ}]=6,\qquad [\text{シ}]=5 $$

である。

解説

この問題は、二項分布の最頻値を求める問題である。ただし公式として覚えるよりも、隣り合う確率の比を調べる方が確実である。

確率

$$ P_k={}_nC_k\frac{5^{n-k}}{6^n} $$

について、比

$$ \frac{P_{k+1}}{P_k}=\frac{n-k}{5(k+1)} $$

を調べれば、確率列が増加する範囲と減少する範囲が分かる。

最大値を与える $k$ が2個あるのは、増加から減少に変わる境目で隣り合う2項が等しくなる場合であり、その条件が

$$ n=6k+5 $$

すなわち

$$ n\equiv 5 \pmod{6} $$

である。

答え

$$ [\text{ケ}]=5^{100-k} $$

$$ [\text{コ}]=16 $$

$$ [\text{サ}]=6 $$

$$ [\text{シ}]=5 $$