数学A 確率(反復試行) 問題 3 解説

方針・初手

$P_1$ と $P_2$ は二項分布の確率として計算できる。比 $\dfrac{P_2}{P_1}$ を直接求めれば、$P_1<P_2$ はその比が $1$ より大きいことと同値になる。

解法1

1回の試行で事象 $A$ が起こる確率は $0.1=\dfrac{1}{10}$、起こらない確率は $0.9=\dfrac{9}{10}$ である。

$n$ 回のうちちょうど1回 $A$ が起こる確率は

$$ P_1={}_n\mathrm{C}_{1(0}.1)(0.9)^{n-1} $$

である。また、$n$ 回のうちちょうど2回 $A$ が起こる確率は

$$ P_2={}_n\mathrm{C}_{2(0}.1)^2(0.9)^{n-2} $$

である。

したがって、比をとると

$$ \begin{aligned} \frac{P_2}{P_1} &= \frac{{}_n\mathrm{C}_{2(0}.1)^2(0.9)^{n-2}} {{}_n\mathrm{C}_{1(0}.1)(0.9)^{n-1}}\\ &= \frac{\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 0.1^2\cdot 0.9^{n-2}} {n\cdot 0.1\cdot 0.9^{n-1}}\\ &= \frac{n-1}{2}\cdot \frac{0.1}{0.9}\\ &= \frac{n-1}{18} \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \frac{P_2}{P_1}=\frac{n-1}{18} $$

である。

また、$P_1<P_2$ となるための条件は

$$ \frac{P_2}{P_1}>1 $$

であるから、

$$ \frac{n-1}{18}>1 $$

を解けばよい。これより

$$ n-1>18 $$

すなわち

$$ n>19 $$

である。

$n$ は整数なので、求める範囲は

$$ n\geqq 20 $$

である。

解説

この問題は、二項分布の確率をそのまま計算する問題である。$P_1$ と $P_2$ を個別に比較しようとすると式が長く見えるが、比 $\dfrac{P_2}{P_1}$ をとると共通部分が消えて簡単になる。

特に、$(0.9)^{n-2}$ や $n$ が約分され、最終的に $\dfrac{n-1}{18}$ という一次式になる点が重要である。$P_1<P_2$ は $\dfrac{P_2}{P_1}>1$ と言い換えられるので、あとは一次不等式を解けばよい。

答え

$$ [ア]=\frac{n-1}{18} $$

$$ [イ]=20 $$