数学A 確率(反復試行) 問題 8 解説

方針・初手

操作 (C) では、ある色の玉が初めて出たときだけ $L$ に入り、2回目以降に出た同じ色の玉は $R$ に入る。

したがって、操作 (C) を繰り返す問題では、「各色が何回出たか」に注目すればよい。特に、$L$ に4色すべてが入る条件は「4色すべてが少なくとも1回出ること」であり、$R$ にも4色すべてが入る条件は「4色すべてが少なくとも2回出ること」である。

解法1

まず、5回の試行で4色すべてが出る確率を求める。

5回の試行で4色すべてが出るには、4色のうち1色だけが2回出て、残り3色が1回ずつ出ればよい。

2回出る色の選び方は $4$ 通りであり、そのときの並べ方は

$$ \frac{5!}{2!} $$

通りである。よって、条件を満たす列の数は

$$ 4\cdot \frac{5!}{2!}=240 $$

である。

全事象は $4^5$ 通りだから、5回で4色すべてが出る確率は

$$ \frac{240}{4^5}=\frac{240}{1024}=\frac{15}{64} $$

である。

（1） 操作 (A) を5回行うと、$L$ には5個の玉が入る。操作 (B) を5回行うと、$R$ には5個の玉が入る。

$L$ と $R$ はそれぞれ独立に5回の試行でできているので、どちらにも4色すべてが入る確率 $P_1$ は

$$ P_1=\left(\frac{15}{64}\right)^2=\frac{225}{4096} $$

である。

（2） 操作 (C) を5回行うと、各色について、初めて出た玉だけが $L$ に入る。

したがって、$L$ に4色すべての玉が入ることは、5回の試行で4色すべてが出ることと同値である。よって

$$ P_2=\frac{15}{64} $$

である。

（3） 操作 (C) を10回行う。

操作 (C) では、ある色が1回だけ出た場合、その色の玉は $L$ に入るが $R$ には入らない。$R$ にその色の玉が入るには、その色が少なくとも2回出る必要がある。

したがって、$L$ にも $R$ にも4色すべての玉が入る条件は、4色すべてがそれぞれ少なくとも2回ずつ出ることである。

10回の試行で、4色の出現回数を $n_1,n_2,n_3,n_4$ とする。このとき求める条件は

$$ n_1+n_2+n_3+n_4=10,\qquad n_i\geqq 2 $$

である。

$n_i\geqq 2$ だから、各色にまず2回ずつ割り当てると、残りは

$$ 10-2\cdot 4=2 $$

回である。この2回の余りの分配は、次の2種類である。

（i） ある1色に2回とも余る場合

このとき出現回数は $(4,2,2,2)$ 型である。4回出る色の選び方は $4$ 通りであり、各場合の並べ方は

$$ \frac{10!}{4!2!2!2!} $$

通りである。よって、この型の列の数は

$$ 4\cdot \frac{10!}{4!2!2!2!}=75600 $$

である。

（ii） 2色に1回ずつ余る場合

このとき出現回数は $(3,3,2,2)$ 型である。3回出る2色の選び方は ${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ 通りであり、各場合の並べ方は

$$ \frac{10!}{3!3!2!2!} $$

通りである。よって、この型の列の数は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot \frac{10!}{3!3!2!2!}=151200 $$

である。

したがって、条件を満たす列の数は

$$ 75600+151200=226800 $$

である。全事象は $4^{10}$ 通りだから

$$ P_3=\frac{226800}{4^{10}} $$

である。

求めるのは $\dfrac{P_3}{P_1}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{P_3}{P_1} &=\frac{\dfrac{226800}{4^{10}}}{\dfrac{225}{4^6}}\\ &=\frac{226800}{225\cdot 4^4}\\ &=\frac{226800}{225\cdot 256}\\ &=\frac{63}{16} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、操作 (C) の性質を正しく読み替えることが重要である。

操作 (C) では、$L$ は「各色の初出」を集める箱になる。一方、$R$ は「すでに $L$ にある色が再び出たとき」に玉が入る箱である。したがって、$R$ にある色が入るには、その色が少なくとも2回出る必要がある。

(1) は $L$ と $R$ が独立に5回ずつ作られるので、同じ確率を2乗すればよい。(2) は操作 (C) によって、$L$ が初出色の集合になることを使う。(3) は4色すべてが2回以上出る場合の数え上げに帰着される。

答え

(1)

$$ P_1=\frac{225}{4096} $$

(2)

$$ P_2=\frac{15}{64} $$

(3)

$$ \frac{P_3}{P_1}=\frac{63}{16} $$