数学A 確率(反復試行) 問題 9 解説

方針・初手

各回の移動を確率変数として見ると、1回ごとに

$$ +1,\ -1,\ 0 $$

のいずれかをとる独立な試行である。カードは毎回戻すので、各回の確率は常に同じである。

「右」「左」「無地」の確率はそれぞれ

$$ \frac{1}{n+2},\quad \frac{1}{n+2},\quad \frac{n}{n+2} $$

であるから、原点にいる条件は「右に動いた回数」と「左に動いた回数」が等しいことである。

解法1

1回のカード引きでの移動を考える。

右へ $1$ 移動する確率は $\dfrac{1}{n+2}$、左へ $1$ 移動する確率も $\dfrac{1}{n+2}$、動かない確率は $\dfrac{n}{n+2}$ である。

（1） 2枚引いたとき

2回の移動後に原点にいるのは、次の2通りである。

• 2回とも無地を引く。
• 「右」と「左」を1回ずつ引く。

したがって、求める確率は

$$ \left(\frac{n}{n+2}\right)^2 + 2\cdot \frac{1}{n+2}\cdot \frac{1}{n+2} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{n^2}{(n+2)^2}+\frac{2}{(n+2)^2} &= \frac{n^2+2}{(n+2)^2} \end{aligned} $$

となる。

（2） （1） の確率が最小となる $n$

（1） の確率を

$$ f(n)=\frac{n^2+2}{(n+2)^2} $$

とおく。$n$ は $0$ または自然数である。

まず実数 $x\geqq 0$ に対して

$$ f(x)=\frac{x^2+2}{(x+2)^2} $$

と考えると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x(x+2)^2-2(x+2)(x^2+2)}{(x+2)^4} \end{aligned} $$

である。整理すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2(x+2){x(x+2)-(x^2+2)}}{(x+2)^4} \\ &= \frac{2(x+2)(2x-2)}{(x+2)^4} \\ &= \frac{4(x-1)}{(x+2)^3} \end{aligned} $$

となる。

$x\geqq 0$ では、分母は正であるから、$f'(x)$ の符号は $x-1$ の符号で決まる。したがって、$f(x)$ は $0\leqq x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。

よって、$n$ が $0$ または自然数であるとき、最小となるのは

$$ n=1 $$

である。

このときの確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1^2+2}{(1+2)^2} &= \frac{3}{9} \\ \frac{1}{3} \end{aligned} $$

である。

（3） 4枚引いたとき

4回の移動後に原点にいるには、右へ動いた回数と左へ動いた回数が等しければよい。

右を引いた回数を $a$、左を引いた回数も $a$ とすると、残りの $4-2a$ 回は無地である。ここで

$$ a=0,1,2 $$

である。

(i)

$a=0$ のとき、4回とも無地である。確率は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{n}{n+2}\right)^4 &= \frac{n^4}{(n+2)^4} \end{aligned} $$

である。

(ii)

$a=1$ のとき、右1回、左1回、無地2回である。その並べ方は

$$ \frac{4!}{1!1!2!}=12 $$

通りであるから、確率は

$$ \begin{aligned} 12\left(\frac{1}{n+2}\right)^2\left(\frac{n}{n+2}\right)^2 &= \frac{12n^2}{(n+2)^4} \end{aligned} $$

である。

(iii)

$a=2$ のとき、右2回、左2回である。その並べ方は

$$ \frac{4!}{2!2!}=6 $$

通りであるから、確率は

$$ \begin{aligned} 6\left(\frac{1}{n+2}\right)^4 &= \frac{6}{(n+2)^4} \end{aligned} $$

である。

以上より、4枚引いた時点で点 $P$ が原点にある確率は

$$ \frac{n^4}{(n+2)^4} + \frac{12n^2}{(n+2)^4} + \frac{6}{(n+2)^4} $$

である。したがって

$$ \frac{n^4+12n^2+6}{(n+2)^4} $$

となる。

解説

この問題では、カードを毎回元に戻すため、各回の試行は独立であり、確率も毎回同じである。

原点に戻る条件は、「右に進んだ回数」と「左に進んだ回数」が等しいことである。無地カードは位置を変えないため、原点にいるかどうかには直接影響せず、右と左の回数のつり合いだけを見ればよい。

2回の場合は直接列挙できる。4回の場合は、右と左の回数を同じ数 $a$ とおき、残りを無地とすることで、重複なく場合分けできる。

答え

(1)

$$ \frac{n^2+2}{(n+2)^2} $$

(2)

$$ n=1 $$

(3)

$$ \frac{n^4+12n^2+6}{(n+2)^4} $$