数学A 確率(反復試行) 問題 16 解説

方針・初手

（1） は「1の目が出る回数」を二項分布で考える。奇数回なので、$1$ 回または $3$ 回である。

（2） は一度に取り出すので、順序を考えない組合せで数える。

（3） は $P_n$ を $n$ の式で表し、隣り合う比 $P_{n+1}/P_n$ を調べて増減を判定する。

解法1

(1)

サイコロを $3$ 回投げるとき、各回で $1$ の目が出る確率は $1/6$、出ない確率は $5/6$ である。

$1$ の目が奇数回出るのは、$1$ 回出る場合と $3$ 回出る場合であるから、求める確率は

$$ {}_3C_1\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^2 + {}_3C_3\left(\frac{1}{6}\right)^3 $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} 3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{25}{36}+\frac{1}{216} &= \frac{75}{216}+\frac{1}{216} \\ \frac{76}{216} \\ \frac{19}{54} \end{aligned} $$

となる。

(2)

合計 $14$ 個の玉から一度に $6$ 個取り出す場合の総数は

$$ {}_{14}C_6 $$

である。

赤玉 $8$ 個から $2$ 個、白玉 $6$ 個から $4$ 個を選ぶ場合の数は

$$ {}_8C_2{}_6C_4 $$

である。したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_8C_2{}*6C_4}{{}*{14}C_6} &= \frac{28\cdot 15}{3003} \\ \frac{420}{3003} \\ \frac{20}{143} \end{aligned} $$

である。

(3)

赤玉は $n-7$ 個、白玉は $7$ 個である。よって、赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個が取り出される確率 $P_n$ は

$$ P_n= \frac{{}_{n-7}C_3{}_7C_2}{{}_nC_5} $$

である。ここで $n\geqq 10$ であるから、赤玉 $n-7$ 個から $3$ 個選ぶことができる。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{\dfrac{(n-7)(n-8)(n-9)}{6}\cdot 21} {\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120}} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} P_n &= 420\cdot \frac{(n-7)(n-8)(n-9)} {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} \end{aligned} $$

である。

最大となる $n$ を調べるために、隣り合う比を考える。

$$ \begin{aligned} \frac{P_{n+1}}{P_n} &= \frac{(n-6)(n-4)}{(n+1)(n-9)} \end{aligned} $$

である。

したがって、$P_{n+1}\geqq P_n$ となる条件は

$$ \frac{(n-6)(n-4)}{(n+1)(n-9)}\geqq 1 $$

である。$n\geqq 10$ より分母は正なので、両辺に分母をかけてよい。

$$ (n-6)(n-4)\geqq (n+1)(n-9) $$

これを展開すると、

$$ n^2-10n+24\geqq n^2-8n-9 $$

より、

$$ 33\geqq 2n $$

すなわち

$$ n\leqq 16.5 $$

である。

$n$ は整数であるから、$n\leqq 16$ のとき $P_{n+1}>P_n$、$n\geqq 17$ のとき $P_{n+1}<P_n$ となる。

したがって、$P_n$ は $n=17$ まで増加し、その後減少する。よって、最大となる $n$ は

$$ 17 $$

である。

解説

（1） は「奇数回」という条件を直接数えればよい。$1$ 回と $3$ 回の和を取る点が重要である。

（2） は同時に取り出す問題なので、順序をつけない組合せで数える。分母は全体から $6$ 個を選ぶ数、分子は赤玉と白玉を条件通りに選ぶ数である。

（3） は $P_n$ の値を直接比較していくのではなく、比 $P_{n+1}/P_n$ を使うと効率がよい。比が $1$ より大きければ増加、$1$ より小さければ減少である。今回のように $n$ が整数で動く最大化では、増加から減少に変わる境目を調べるのが典型である。

答え

(1)

$$ \frac{19}{54} $$

(2)

$$ \frac{20}{143} $$

(3)

$$ 17 $$