数学A 確率(反復試行) 問題 17 解説

方針・初手

1回の試行で点 $P$ が $+1,-1,0$ のどれだけ動くかに注目する。

2枚の硬貨を投げると、

$$ P(+1)=\frac14,\qquad P(-1)=\frac14,\qquad P(0)=\frac12 $$

である。5回の試行のうち、$+1$ に動いた回数を $a$、$-1$ に動いた回数を $b$、動かなかった回数を $c$ とすると、

$$ a+b+c=5,\qquad Pの位置=a-b $$

である。したがって、求める座標ごとに $a-b$ の値を満たす組を数えればよい。

解法1

5回の試行で、$+1$ が $a$ 回、$-1$ が $b$ 回、$0$ が $c$ 回起こる確率は、多項分布より

$$ \frac{5!}{a!b!c!}\left(\frac14\right)^a\left(\frac14\right)^b\left(\frac12\right)^c $$

である。

座標 $4$ にある確率

座標 $4$ にあるには

$$ a-b=4,\qquad a+b+c=5 $$

でなければならない。

これを満たすのは

$$ (a,b,c)=(4,0,1) $$

のみである。したがって、

$$ \frac{5!}{4!0!1!}\left(\frac14\right)^4\left(\frac12\right) =5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac12 =\frac{5}{512} $$

である。

座標 $3$ にある確率

座標 $3$ にあるには

$$ a-b=3,\qquad a+b+c=5 $$

でなければならない。

これを満たす組は

$$ (a,b,c)=(3,0,2),\ (4,1,0) $$

である。

それぞれの確率は

$$ \frac{5!}{3!0!2!}\left(\frac14\right)^3\left(\frac12\right)^2 =10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac14 =\frac{5}{128} $$

および

$$ \frac{5!}{4!1!0!}\left(\frac14\right)^5 =5\cdot \frac{1}{1024} =\frac{5}{1024} $$

である。よって、求める確率は

$$ \frac{5}{128}+\frac{5}{1024} =\frac{40}{1024}+\frac{5}{1024} =\frac{45}{1024} $$

である。

座標 $0$ にある確率

座標 $0$ にあるには

$$ a-b=0 $$

すなわち $a=b$ であればよい。

また $a+b+c=5$ だから、可能な組は

$$ (a,b,c)=(0,0,5),\ (1,1,3),\ (2,2,1) $$

である。

それぞれの確率は

$$ \left(\frac12\right)^5=\frac{1}{32} $$

$$ \frac{5!}{1!1!3!}\left(\frac14\right)^2\left(\frac12\right)^3 =20\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac18 =\frac{5}{32} $$

$$ \frac{5!}{2!2!1!}\left(\frac14\right)^4\left(\frac12\right) =30\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac12 =\frac{15}{256} $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{15}{256} =\frac{8}{256}+\frac{40}{256}+\frac{15}{256} =\frac{63}{256} $$

である。

解説

この問題は、2枚の硬貨そのものを直接数えるよりも、1回ごとの移動量を $+1,-1,0$ の3種類にまとめると処理しやすい。

注意すべき点は、「表と裏が1枚ずつ」の場合は2通りあるため、移動しない確率が

$$ \frac{2}{4}=\frac12 $$

になることである。

あとは、5回のうち $+1$ が何回、$-1$ が何回、$0$ が何回起こったかを場合分けし、多項分布で数えればよい。特に座標 $0$ では、$+1$ と $-1$ の回数が等しい場合をすべて拾う必要がある。

答え

(1)

座標 $4$ にある確率

$$ \frac{5}{512} $$

(2)

座標 $3$ にある確率

$$ \frac{45}{1024} $$

(3)

座標 $0$ にある確率

$$ \frac{63}{256} $$