数学A 確率(反復試行) 問題 22 解説

方針・初手

球を取り出した後に袋へ戻すので、40回の試行は独立である。1回で白球が出る確率は

$$ \frac{20}{70}=\frac{2}{7} $$

であるから、白球が出る回数は二項分布に従う。したがって $p_n$ を二項分布の確率として表す。

解法1

白球が $n$ 回、赤球が $40-n$ 回出る確率は

$$ p_n={}_{40}C_n\left(\frac{2}{7}\right)^n\left(\frac{5}{7}\right)^{40-n} $$

である。

まず $p_1$ を求めると、

$$ \begin{aligned} p_1 &={}_{40}C_1\left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{5}{7}\right)^{39}\\ &=40\cdot\frac{2}{7}\left(\frac{5}{7}\right)^{39}\\ &=\frac{80}{7}\left(\frac{5}{7}\right)^{39}\\ &=16\left(\frac{5}{7}\right)^{40} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ p_1=16\left(\frac{5}{7}\right)^{40} $$

である。

次に、連続する確率の比を求める。

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}*{40}C*{n+1}\left(\frac{2}{7}\right)^{n+1}\left(\frac{5}{7}\right)^{39-n}} {{}*{40}C_n\left(\frac{2}{7}\right)^n\left(\frac{5}{7}\right)^{40-n}}\\ &= \frac{{}*{40}C_{n+1}}{{}_{40}C_n}\cdot \frac{2}{5}\\ &= \frac{40-n}{n+1}\cdot \frac{2}{5}\\ &= \frac{2(40-n)}{5(n+1)} \end{aligned} $$

したがって

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{2(40-n)}{5(n+1)} $$

である。

最後に、$p_n$ が最大となる $n$ を調べる。$p_{n+1}>p_n$ となる条件は

$$ \frac{2(40-n)}{5(n+1)}>1 $$

である。これを解くと、

$$ \begin{aligned} 2(40-n)&>5(n+1)\\ 80-2n&>5n+5\\ 75&>7n\\ n&<\frac{75}{7} \end{aligned} $$

となる。

よって $n=0,1,\dots,10$ では $p_{n+1}>p_n$ であり、$n=11$ 以降では $p_{n+1}<p_n$ となる。したがって、確率 $p_n$ が最大となるのは $n=11$ のときである。

解説

この問題は、復元抽出なので二項分布として処理するのが基本である。直接 $p_n$ をすべて計算するのではなく、隣り合う確率の比

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n} $$

を調べると、確率が増加から減少に変わる位置を簡単に判定できる。

特に最大値を求める部分では、$p_{n+1}/p_n$ が $1$ より大きいか小さいかを見るのが典型的である。

答え

(1)

$$ p_1=16\left(\frac{5}{7}\right)^{40} $$

したがって、コ $=16$、サ $=40$ である。

(2)

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{2(40-n)}{5(n+1)} $$

したがって、シ $=2$、ス $=40$、セ $=5$、ソ $=1$ である。

(3)

白球が取り出される確率が最大になるのは、白球が $11$ 個取り出されるときである。

したがって、タ $=11$ である。