数学A 確率(反復試行) 問題 23 解説

方針・初手

6秒後の位置は、6回の移動の結果で決まる。各移動は4通りで等確率だから、全事象の数は

$$ 4^6 $$

である。

(1)では直線 $y=x$ 上にある条件を、$x-y=0$ として考える。(2)では右・左・上・下への移動回数を数えて、原点に戻る条件を立てる。

解法1

右、左、上、下への移動をそれぞれ $R,L,U,D$ と書く。

(1) 6秒後に直線 $y=x$ 上にある確率

現在の点を $(x,y)$ とすると、$x-y$ の変化に注目する。

各移動による $x-y$ の変化は次の通りである。

$$ \begin{array}{c|c} \text{移動} & x-y\text{ の変化} \\ \hline R & +1 \\ L & -1 \\ U & -1 \\ D & +1 \end{array} $$

したがって、1回の移動で $x-y$ は確率 $\dfrac12$ で $+1$、確率 $\dfrac12$ で $-1$ 変化する。

最初は原点にあるので、初期状態では

$$ x-y=0 $$

である。6回の移動後に直線 $y=x$ 上にあるためには、6回のうち $+1$ になる移動が3回、$-1$ になる移動が3回であればよい。

よってその確率は

$$ \begin{aligned} {}_{6}\mathrm{C}_{3}\left(\frac12\right)^6 &= \frac{20}{64} \\ \frac{5}{16} \end{aligned} $$

である。

(2) 6秒後に原点 $O$ にある確率

右への移動回数を $r$、左への移動回数を $l$、上への移動回数を $u$、下への移動回数を $d$ とする。

6秒後に原点に戻るためには、横方向と縦方向の移動がそれぞれ打ち消し合えばよい。すなわち

$$ r=l,\qquad u=d $$

である。

また、全部で6回移動するので

$$ r+l+u+d=6 $$

である。ここで $r=l=a,\ u=d=b$ とおくと、

$$ 2a+2b=6 $$

より

$$ a+b=3 $$

となる。

したがって、$(a,b)$ の組は

$$ (a,b)=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0) $$

である。

それぞれの場合の移動の並べ方を数える。

(i)

$(a,b)=(0,3)$ のとき

$$ \frac{6!}{0!0!3!3!}=20 $$

(ii)

$(a,b)=(1,2)$ のとき

$$ \frac{6!}{1!1!2!2!}=180 $$

(iii)

$(a,b)=(2,1)$ のとき

$$ \frac{6!}{2!2!1!1!}=180 $$

(iv)

$(a,b)=(3,0)$ のとき

$$ \frac{6!}{3!3!0!0!}=20 $$

よって、6秒後に原点にある移動列の総数は

$$ 20+180+180+20=400 $$

である。

全事象は $4^6=4096$ 通りだから、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{400}{4^6} &= \frac{400}{4096} \\ \frac{25}{256} \end{aligned} $$

である。

解説

(1)は座標そのものを追うよりも、直線 $y=x$ を表す条件 $x-y=0$ に注目するのが有効である。各移動で $x-y$ が $+1$ または $-1$ だけ変化するため、単純な二項分布の問題に帰着する。

(2)は原点に戻る条件を、右と左、上と下の移動回数がそれぞれ等しいこととして数え上げる。単に「3回戻る」などと考えると条件を取り違えやすいので、4方向それぞれの回数を文字で置くのが安全である。

答え

(1)

$$ \frac{5}{16} $$

(2)

$$ \frac{25}{256} $$