数学A 確率(反復試行) 問題 27 解説

方針・初手

各回の移動で「右回りに進んだ回数」を数える。6回のうち右回りに進んだ回数を $k$ とすると，左回りは $6-k$ 回である。

右回りを正方向とすれば，出発点 A からの移動量は

$$ k-(6-k)=2k-6 $$

である。したがって，この値を $6$ で割った余りによって，6回後の頂点が決まる。

解法1

右回りに進む確率は $\dfrac{2}{3}$，左回りに進む確率は $\dfrac{1}{3}$ であるから，6回のうち右回りがちょうど $k$ 回である確率は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{6-k} $$

である。

頂点を A から右回りに

$$ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F $$

と見る。A を基準として，右回りの移動量を $0,1,2,3,4,5$ で表す。

（1） 6回後に点 A にある確率

点 A に戻るためには，移動量が $6$ の倍数になればよい。したがって

$$ 2k-6 \equiv 0 \pmod{6} $$

を満たす必要がある。

これは

$$ 2k \equiv 0 \pmod{6} $$

であり，よって $k$ は $3$ の倍数である。$0\leqq k\leqq 6$ より，

$$ k=0,\ 3,\ 6 $$

である。

したがって求める確率は

$$ \begin{aligned} &{}_{6}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{2}{3}\right)^0\left(\frac{1}{3}\right)^6 +{}_{6}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^3 +{}_{6}\mathrm{C}_{6}\left(\frac{2}{3}\right)^6\left(\frac{1}{3}\right)^0 \\ &=\frac{1}{729}+\frac{160}{729}+\frac{64}{729} \\ &=\frac{225}{729} \\ &=\frac{25}{81} \end{aligned} $$

よって，6回後に点 A にある確率は

$$ \frac{25}{81} $$

である。

（2） 6回後に点 C にある確率

点 C は A から右回りに $2$ つ進んだ頂点である。したがって，点 C にあるためには

$$ 2k-6 \equiv 2 \pmod{6} $$

を満たす必要がある。

これは

$$ 2k \equiv 8 \equiv 2 \pmod{6} $$

であり，よって

$$ k \equiv 1 \pmod{3} $$

である。$0\leqq k\leqq 6$ より，

$$ k=1,\ 4 $$

である。

したがって求める確率は

$$ \begin{aligned} &{}_{6}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^5 +{}_{6}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &=\frac{12}{729}+\frac{240}{729} \\ &=\frac{252}{729} \\ &=\frac{28}{81} \end{aligned} $$

よって，6回後に点 C にある確率は

$$ \frac{28}{81} $$

である。

解説

この問題では，具体的に経路をすべて並べるのではなく，右回りに進んだ回数だけに注目するのが有効である。

6回の移動後の位置は，「右回りの回数」と「左回りの回数」の差で決まる。右回りの回数を $k$ とすると，移動量は $2k-6$ となるため，あとはこれを $6$ で割った余りで頂点を判定すればよい。

点 A に戻る条件は移動量が $0$，点 C に着く条件は移動量が $2$ である。ただし六角形上の移動なので，合同式で考える必要がある。

答え

(1)

$$ \frac{25}{81} $$

(2)

$$ \frac{28}{81} $$