数学A 数列･確率(数B) 問題 15 解説

方針・初手

赤いボールの位置だけに注目すればよい。箱 $A,B,C$ に赤いボールが入っている確率をそれぞれ $P_n(A),P_n(B),P_n(C)$ とおくと、1回の操作で確率は漸化式で表せる。

解法1

まず、$n$ 回後の確率を

$$ P_n(A)=a_n,\quad P_n(B)=b_n,\quad P_n(C)=c_n $$

とおく。

次の1回で赤いボールが箱 $A$ に入るのは、前回 $A$ にあり、裏が出て $A$ が動かない場合、または前回 $B$ にあり、表が出て $A$ に移る場合である。よって

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n $$

同様に、

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}c_n $$

$$ c_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}c_n $$

である。

初めは赤いボールは箱 $A$ にあるので、

$$ a_0=1,\quad b_0=0,\quad c_0=0 $$

である。

1回後は

$$ a_1=\frac{1}{2}a_0+\frac{1}{2}b_0=\frac{1}{2} $$

より、

$$ P_1(A)=\frac{1}{2} $$

である。

また、

$$ (a_1,b_1,c_1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right) $$

であるから、2回後について

$$ b_2=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}c_1 =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 0 =\frac{1}{4} $$

したがって、

$$ P_2(B)=\frac{1}{4} $$

である。

さらに、

$$ a_2=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}b_1 =\frac{1}{2},\quad b_2=\frac{1}{4},\quad c_2=\frac{1}{4} $$

であるから、

$$ c_3=\frac{1}{2}b_2+\frac{1}{2}c_2 =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} =\frac{1}{4} $$

よって、

$$ P_3(C)=\frac{1}{4} $$

である。

次に、$A$ または $C$ に赤いボールが入っている確率を

$$ s_n=P_n(A)+P_n(C) $$

とおく。

上の漸化式より、

$$ \begin{aligned} P_{n+1}(A)+P_{n+1}(C) &=\left(\frac{1}{2}P_n(A)+\frac{1}{2}P_n(B)\right) +\left(\frac{1}{2}P_n(B)+\frac{1}{2}P_n(C)\right)\\ &=\frac{1}{2}{P_n(A)+P_n(C)}+P_n(B) \end{aligned} $$

ここで

$$ P_n(A)+P_n(B)+P_n(C)=1 $$

だから、

$$ P_n(B)=1-{P_n(A)+P_n(C)} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} P_{n+1}(A)+P_{n+1}(C) &=\frac{1}{2}{P_n(A)+P_n(C)}+1-{P_n(A)+P_n(C)}\\ &=1-\frac{1}{2}{P_n(A)+P_n(C)} \end{aligned} $$

よって、

$$ s_{n+1}=1-\frac{1}{2}s_n $$

である。

初めは赤いボールが箱 $A$ にあるので、

$$ s_0=P_0(A)+P_0(C)=1 $$

である。

漸化式

$$ s_{n+1}=1-\frac{1}{2}s_n $$

の定数解を求めると、

$$ s=1-\frac{1}{2}s $$

より、

$$ s=\frac{2}{3} $$

である。したがって、

$$ s_{n+1}-\frac{2}{3} =-\frac{1}{2}\left(s_n-\frac{2}{3}\right) $$

となる。

これを繰り返して、

$$ s_n-\frac{2}{3} =\left(-\frac{1}{2}\right)^n\left(s_0-\frac{2}{3}\right) $$

である。$s_0=1$ より、

$$ s_n-\frac{2}{3} =\left(-\frac{1}{2}\right)^n\cdot \frac{1}{3} $$

したがって、

$$ P_n(A)+P_n(C)=s_n =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n $$

である。

また、

$$ P_n(B)=1-{P_n(A)+P_n(C)} $$

だから、

$$ \begin{aligned} P_n(B) &=1-\left\{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}\\ &=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} \end{aligned} $$

である。

最後に、はじめに箱 $A,B,C$ にそれぞれ赤、赤、白のボールが入っている場合を考える。このとき白いボールは最初に箱 $C$ にある。

白いボールの位置も、赤いボールの場合と同じ規則で移動する。白いボールが $B$ に入っている確率は、「最初に $C$ にあった1個のボールが $n$ 回後に $B$ にある確率」である。

箱 $A$ と箱 $C$ は対称なので、最初に $C$ にある場合も、$n$ 回後に箱 $B$ にある確率は、最初に $A$ にある場合の $P_n(B)$ と同じである。よって、

$$ P_n(B)=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$

である。

解説

この問題では、ボール全体の配置を追う必要はない。赤いボールがどの箱にあるかだけを状態として見れば、$A,B,C$ の3状態の確率漸化式になる。

特に重要なのは、$P_n(A)$ や $P_n(C)$ を個別に求めるのではなく、$P_n(A)+P_n(C)$ をまとめて考える点である。$B$ 以外にある確率として扱うことで、1次の漸化式

$$ s_{n+1}=1-\frac{1}{2}s_n $$

に落ちる。

また、最後の設問は赤いボールが2個あるため混乱しやすいが、白いボールは1個だけなので、その白いボールの位置を追えばよい。赤か白かは関係なく、1個のボールの移動規則は同じである。

答え

(1)

$$ [ア]=\frac{1}{2} $$

$$ [イ]=\frac{1}{4} $$

$$ [ウ]=\frac{1}{4} $$

(2)

$$ [エ]=1-\frac{1}{2}{P_n(A)+P_n(C)} $$

(3)

$$ [オ]=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n $$

(4)

$$ [カ]=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$

(5)

$$ [マ]=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$