数学A 数列･確率(数B) 問題 16 解説

方針・初手

$a_k=k$ となるには、$k$ 回目に出た目ごとに条件を分けるのが自然である。

特に重要なのは、$a_{k-1}=0$ となる確率である。定義より、$a_j=0$ となるのは $j$ 回目に $1$ の目が出たときだけである。したがって、任意の $j$ について

$$ P(a_j=0)=\frac{1}{6} $$

である。

解法1

まず $p_1$ を求める。1回目に $1$ 以外の目が出ると $a_1=1$ であるから、

$$ p_1=P(a_1=1)=\frac{5}{6} $$

である。

次に $k\geqq 2$ とする。$a_k=k$ となる場合を、$k$ 回目に出た目で分ける。

(i)

$k$ 回目に $1$ の目が出た場合

このとき $a_k=0$ であるから、$a_k=k$ とはならない。

(ii)

$k$ 回目に $6$ の目が出た場合

このとき

$$ a_k=a_{k-1}+k $$

である。したがって $a_k=k$ となるには

$$ a_{k-1}=0 $$

が必要十分である。

$k$ 回目の目と、それ以前の結果は独立であり、また $P(a_{k-1}=0)=\dfrac{1}{6}$ であるから、この場合の確率は

$$ \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36} $$

である。

(iii)

$k$ 回目に $1,6$ 以外の目が出た場合

このとき

$$ a_k=a_{k-1}+1 $$

である。したがって $a_k=k$ となるには

$$ a_{k-1}=k-1 $$

が必要十分である。

$1,6$ 以外の目が出る確率は $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ であるから、この場合の確率は

$$ \frac{2}{3}p_{k-1} $$

である。

以上より、$2\leqq k\leqq n$ に対して

$$ p_k=\frac{1}{36}+\frac{2}{3}p_{k-1} $$

を得る。

これを用いて $p_2,p_3$ を求める。

$$ p_2=\frac{1}{36}+\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{6} =\frac{1}{36}+\frac{10}{18} =\frac{1}{36}+\frac{20}{36} =\frac{21}{36} =\frac{7}{12} $$

また、

$$ p_3=\frac{1}{36}+\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{12} =\frac{1}{36}+\frac{14}{36} =\frac{15}{36} =\frac{5}{12} $$

次に漸化式

$$ p_k=\frac{2}{3}p_{k-1}+\frac{1}{36} $$

を解く。この漸化式の定数解を $p$ とすると、

$$ p=\frac{2}{3}p+\frac{1}{36} $$

より、

$$ \frac{1}{3}p=\frac{1}{36} $$

したがって

$$ p=\frac{1}{12} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} p_k-\frac{1}{12} &= \frac{2}{3}\left(p_{k-1}-\frac{1}{12}\right) \end{aligned} $$

となる。これを繰り返すと、

$$ \begin{aligned} p_k-\frac{1}{12} &= \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \left(p_1-\frac{1}{12}\right) \end{aligned} $$

である。

$p_1=\dfrac{5}{6}$ より、

$$ \begin{aligned} p_1-\frac{1}{12} &= \frac{5}{6}-\frac{1}{12} \\ \frac{10}{12}-\frac{1}{12} \\ \frac{9}{12} \\ \frac{3}{4} \end{aligned} $$

したがって、

$$ p_k=\frac{1}{12}+\frac{3}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} $$

である。

解説

この問題の中心は、$k$ 回目に出た目によって $a_k$ の決まり方が変わる点である。

$k$ 回目に $6$ が出たときは $a_k=a_{k-1}+k$ なので、$a_k=k$ となるには $a_{k-1}=0$ が必要である。一方、$1,6$ 以外が出たときは $a_k=a_{k-1}+1$ なので、$a_k=k$ となるには $a_{k-1}=k-1$ が必要である。

ここで $a_{k-1}=0$ となる確率を $p_{k-1}$ と混同しないことが重要である。$p_{k-1}$ は $a_{k-1}=k-1$ となる確率であり、$a_{k-1}=0$ となる確率ではない。$a_{k-1}=0$ は $(k-1)$ 回目に $1$ が出た場合に限られるので、その確率は常に $\dfrac{1}{6}$ である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{5}{6},\qquad p_2=\frac{7}{12},\qquad p_3=\frac{5}{12} $$

(2)

$$ p_k=\frac{2}{3}p_{k-1}+\frac{1}{36} \qquad (2\leqq k\leqq n) $$

(3)

$$ p_k=\frac{1}{12}+\frac{3}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \qquad (1\leqq k\leqq n) $$