数学A 数列･確率(数B) 問題 17 解説

方針・初手

各頂点での移動規則は対称である。現在 $A_k$ にいるとき、次も同じ頂点にいる確率は、出た目が $k,5,6$ の場合なので

$$ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

であり、他の各頂点へ移る確率はそれぞれ $\frac{1}{6}$ である。

求めたいのは $A_1$ にいる確率 $p_n$ であるから、「直前に $A_1$ にいた場合」と「直前に $A_1$ 以外にいた場合」に分けて考える。

解法1

まず、最初は $Q$ は $A_1$ にあるので

$$ p_0=1 $$

である。

1回投げた後に $A_1$ にいるのは、出た目が $1,5,6$ の場合である。したがって

$$ p_1=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

である。

次に $p_2$ を求める。1回目の後も $A_1$ にいて、2回目の後も $A_1$ にいる確率は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} $$

である。また、1回目で $A_1$ 以外の頂点へ移り、2回目で $A_1$ に戻る確率は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12} $$

である。よって

$$ p_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3} $$

である。

次に漸化式を作る。$n$ 回投げた後に $A_1$ にいる確率は $p_n$ であり、$A_1$ 以外にいる確率は $1-p_n$ である。

$n+1$ 回目の後に $A_1$ にいる場合は、次の2通りである。

(i)

$n$ 回目の後に $A_1$ にいて、そのまま $A_1$ にとどまる。

この確率は

$$ p_n\cdot \frac{1}{2} $$

である。

(ii)

$n$ 回目の後に $A_1$ 以外にいて、$A_1$ へ移る。

現在どの $A_k\ (k\neq 1)$ にいても、$A_1$ へ移るには出た目が $1$ であればよいので、その確率は $\frac{1}{6}$ である。したがってこの確率は

$$ (1-p_n)\cdot \frac{1}{6} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n) \\ \frac{1}{3}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

この漸化式を解く。定数項があるので、定常値を求める。$p_{n+1}=p_n=x$ とおくと

$$ x=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6} $$

より

$$ \frac{2}{3}x=\frac{1}{6} $$

したがって

$$ x=\frac{1}{4} $$

である。

そこで

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{4} &= \frac{1}{3}\left(p_n-\frac{1}{4}\right) \end{aligned} $$

となる。$p_0=1$ だから

$$ p_0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{4} &= \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

である。

これを整理すると

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{4}+\frac{1}{4\cdot 3^{n-1}} \\ \frac{1+3^{1-n}}{4} \end{aligned} $$

である。ただし、この形は $n\geqq 1$ で自然に用いられる。

解説

この問題は、四面体の頂点上の移動を確率漸化式として処理する問題である。

重要なのは、$A_1$ 以外の3頂点を個別に追いかける必要がない点である。どの頂点にいても、同じ頂点にとどまる確率は $\frac{1}{2}$、指定した別の頂点へ移る確率は $\frac{1}{6}$ である。そのため、$A_1$ にいるかどうかだけを見れば十分である。

漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

を作れれば、あとは定数解 $\frac{1}{4}$ を引いて等比型に直すのが標準的な処理である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad p_2=\frac{1}{3} $$

(2)

$$ p_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

(3)

$$ p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n $$

すなわち、$n\geqq 1$ では

$$ p_n=\frac{1+3^{1-n}}{4} $$