数学A 数列･確率(数B) 問題 18 解説

方針・初手

点 $P$ が $A$ にいる確率だけを追えばよい。次の1回のさいころで、$1$ が出れば場所が入れ替わり、$1$ 以外ならそのままであるから、「直前に $A$ にいたか、$B$ にいたか」で場合を分けて漸化式を作る。

解法1

$n$ 回投げた後に $P$ が $A$ にいる確率を $p_n$ とする。初めは $A$ にいるので、便宜上

$$ p_0=1 $$

とおく。

(1) $p_1,\ p_2$ を求める

1回目の後に $A$ にいるのは、$1$ 以外の目が出て移動しない場合である。したがって

$$ p_1=\frac{5}{6} $$

である。

2回目の後に $A$ にいる場合は、1回目の後の位置で分ける。

1回目の後に $A$ にいて、2回目に $1$ 以外が出る場合と、1回目の後に $B$ にいて、2回目に $1$ が出る場合である。よって

$$ \begin{aligned} p_2 &= p_1\cdot \frac{5}{6}+(1-p_1)\cdot \frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。$p_1=\frac{5}{6}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} + \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \\ &= \frac{25}{36}+\frac{1}{36} \\ &= \frac{26}{36} \\ &= \frac{13}{18} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ p_1=\frac{5}{6},\qquad p_2=\frac{13}{18} $$

である。

(2) $p_n$ を $p_{n-1}$ を用いて表す

$n-1$ 回投げた後に $A$ にいる確率は $p_{n-1}$、$B$ にいる確率は $1-p_{n-1}$ である。

$n$ 回目の後に $A$ にいるのは、次の2通りである。

(i)

$n-1$ 回目の後に $A$ にいて、$n$ 回目に $1$ 以外が出る。

この確率は

$$ p_{n-1}\cdot \frac{5}{6} $$

である。

(ii)

$n-1$ 回目の後に $B$ にいて、$n$ 回目に $1$ が出て $A$ に移る。

この確率は

$$ (1-p_{n-1})\cdot \frac{1}{6} $$

である。

よって、$n\geqq 2$ に対して

$$ \begin{aligned} p_n &= p_{n-1}\cdot \frac{5}{6} + (1-p_{n-1})\cdot \frac{1}{6} \\ &= \frac{5}{6}p_{n-1}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}p_{n-1} \\ &= \frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ p_n=\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6} $$

である。

(3) $\dfrac{2p_n-1}{2p_{n-1}-1}$ の値を求める

(2)で得た漸化式

$$ p_n=\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6} $$

を用いる。

両辺を2倍して1を引くと、

$$ \begin{aligned} 2p_n-1 &= 2\left(\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6}\right)-1 \\ &= \frac{4}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}-1 \\ &= \frac{4}{3}p_{n-1}-\frac{2}{3} \\ &= \frac{2}{3}(2p_{n-1}-1) \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{2p_n-1}{2p_{n-1}-1} &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

である。

(4) 一般項 $p_n$ を求める

(3)より、

$$ 2p_n-1=\frac{2}{3}(2p_{n-1}-1) $$

である。したがって、数列 $2p_n-1$ は公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。

また、

$$ \begin{aligned} 2p_1-1 &= 2\cdot \frac{5}{6}-1 \\ \frac{5}{3}-1 \\ \frac{2}{3} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2p_n-1 &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} 2p_n &= 1+\left(\frac{2}{3}\right)^n \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{2}\left\{1+\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「$A$ にいる確率」と「$B$ にいる確率」が合わせて $1$ になることを使うのが基本である。

$n$ 回目の後に $A$ にいるためには、直前に $A$ にいて動かない場合と、直前に $B$ にいて移動する場合の2通りがある。ここから

$$ p_n=\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6} $$

という一次漸化式が得られる。

さらに、この漸化式はそのまま解くよりも、$p_n$ が最終的に近づく値 $\frac{1}{2}$ を意識して、$2p_n-1$ の形に変形すると等比数列になる。これがこの問題の中心である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{5}{6},\qquad p_2=\frac{13}{18} $$

(2)

$$ p_n=\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6} \qquad (n\geqq 2) $$

(3)

$$ \frac{2p_n-1}{2p_{n-1}-1}=\frac{2}{3} $$

(4)

$$ p_n= \frac{1}{2}\left\{1+\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} $$