数学A 数列･確率(数B) 問題 41 解説

注意

画像末尾が切れており、(3)の「その多項式の最も次数の」の後が読み取れない。以下では「最も次数の高い項、およびその係数を求めよ」と解釈した場合の解答解説である。

方針・初手

点 P の座標は常に右へ進むので、一度座標 $n$ に到達した後、再び座標 $n$ になることはない。したがって、どの回で座標 $n$ に到達するかを、表の回数と裏の回数で数えればよい。

以下、裏の出る確率を

$$ \beta=1-\alpha $$

とおく。

解法1

まず $k=2$ の場合を考える。

座標 $n$ に到達するまでに、表が $r$ 回、裏が $s$ 回出たとする。このとき、表では $2$、裏では $1$ だけ進むので、

$$ 2r+s=n $$

である。

到達までの投げた回数は $r+s$ 回であり、上の式から $s=n-2r$ である。したがって

$$ r+s=r+n-2r=n-r $$

となる。

このような並び方は、$n-r$ 回のうち表の位置 $r$ 個を選ぶので

$$ {}_{n-r}\mathrm{C}_{r} $$

通りである。よって、その確率は

$$ {}_{n-r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r\beta^{n-2r} $$

である。

ここで $s=n-2r\geqq 0$ より、

$$ 0\leqq r\leqq \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor $$

である。したがって、$k=2$ のとき

$$ p_n=\sum_{r=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} {}_{n-r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r(1-\alpha)^{n-2r} $$

である。

特に、

$$ p_1=1-\alpha $$

であり、

$$ p_2=(1-\alpha)^2+\alpha $$

である。また、

$$ p_3=(1-\alpha)^3+2\alpha(1-\alpha) $$

である。これを整理すると、

$$ p_3=1-\alpha+\alpha^2-\alpha^3 $$

となる。

次に $k=3$ の場合を考える。

座標 $n$ に到達するまでに、表が $r$ 回、裏が $s$ 回出たとする。このとき

$$ 3r+s=n $$

である。よって

$$ s=n-3r $$

であり、到達までの回数は

$$ r+s=r+n-3r=n-2r $$

である。

したがって、表が $r$ 回、裏が $n-3r$ 回出て座標 $n$ に到達する確率は

$$ {}_{n-2r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r(1-\alpha)^{n-3r} $$

である。ここで $n-3r\geqq 0$ より、

$$ 0\leqq r\leqq \left\lfloor \frac{n}{3}\right\rfloor $$

である。

よって、$k=3$ のとき

$$ p_n=\sum_{r=0}^{\left\lfloor n/3\right\rfloor} {}_{n-2r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r(1-\alpha)^{n-3r} $$

である。

このうち $r=0$ の項は、すべて裏が出る場合であり、

$$ (1-\alpha)^n $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} p_n-(1-\alpha)^n &= \sum_{r=1}^{\left\lfloor n/3\right\rfloor} {}_{n-2r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r(1-\alpha)^{n-3r} \end{aligned} $$

である。

この和の $r$ 番目の項

$$ {}_{n-2r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r(1-\alpha)^{n-3r} $$

は、$\alpha$ の多項式として見たとき、次数が

$$ r+(n-3r)=n-2r $$

である。

$r\geqq 1$ なので、最も次数が高くなるのは $r=1$ のときである。このときの項は

$$ {}_{n-2}\mathrm{C}_{1}\alpha(1-\alpha)^{n-3} =(n-2)\alpha(1-\alpha)^{n-3} $$

である。

この最高次の項は、

$$ \begin{aligned} (n-2)\alpha\cdot (-\alpha)^{n-3} &= (n-2)(-1)^{n-3}\alpha^{n-2} \end{aligned} $$

である。

したがって、$p_n-(1-\alpha)^n$ の最高次数は $n-2$ であり、その最高次の項は

$$ (n-2)(-1)^{n-3}\alpha^{n-2} $$

である。

解説

この問題では、点 P が右にしか進まないことが重要である。座標 $n$ に到達する時刻は高々 $1$ 回なので、「座標 $n$ に到達するまでの表裏の並び」を数えればよい。

$k=2$ では、表を $r$ 回使うと残りの移動量は裏によって $n-2r$ となる。したがって、長さ $n-r$ の列の中に表を $r$ 回入れる数え上げになる。

$k=3$ でも同様に、表を $r$ 回使うと裏は $n-3r$ 回であり、到達までの列の長さは $n-2r$ である。$(1-\alpha)^n$ を引くことは、表を一度も出さずに裏だけで座標 $n$ に到達する場合を取り除くことに対応している。

最高次の項を見るときは、各項の次数 $n-2r$ を比較すればよい。$r\geqq 1$ の中では $r=1$ が最大なので、表がちょうど $1$ 回出る場合だけが最高次の項に寄与する。

答え

(1)

$$ p_1=1-\alpha $$

$$ p_2=(1-\alpha)^2+\alpha =1-\alpha+\alpha^2 $$

$$ p_3=(1-\alpha)^3+2\alpha(1-\alpha) =1-\alpha+\alpha^2-\alpha^3 $$

(2)

$$ p_n=\sum_{r=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} {}_{n-r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r(1-\alpha)^{n-2r} $$

(3)

$$ \begin{aligned} p_n-(1-\alpha)^n &= \sum_{r=1}^{\left\lfloor n/3\right\rfloor} {}_{n-2r}\mathrm{C}_{r}\alpha^r(1-\alpha)^{n-3r} \end{aligned} $$

この多項式の最高次数は $n-2$ であり、最高次の項は

$$ (n-2)(-1)^{n-3}\alpha^{n-2} $$

である。したがって、最高次係数は

$$ (n-2)(-1)^{n-3} $$

である。