数学A 数列･確率(数B) 問題 42 解説

方針・初手

A にいる確率 $p_n$ だけを追う。A 以外、すなわち B または C にいるとき、次に A へ移る確率はいずれも $\dfrac{1}{6}$ であることを使うと、$p_n$ について閉じた漸化式が得られる。

解法1

まず、$n=0$ のとき Q は A にいるので、

$$ p_0=1 $$

である。

1 回さいころを投げた後に A にいるのは、A から移動しない場合である。さいころの目が $3,4,5,6$ のいずれかであれば移動しないから、

$$ p_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

である。

(1)

$p_2$ を求める。1 回後に A にいる確率は $\dfrac{2}{3}$、A にいない確率は $\dfrac{1}{3}$ である。

1 回後に A にいるとき、2 回後も A にいるには移動しない必要があるので、その確率は $\dfrac{4}{6}$ である。

また、1 回後に A 以外の点にいるとき、2 回後に A へ移るには、隣の A へ進む向きの目が出る必要がある。これは B からでも C からでも確率 $\dfrac{1}{6}$ である。

したがって、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{6} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} &= \frac{8}{18}+\frac{1}{18} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。

(2)

$n$ 回後に A にいる確率は $p_n$ であり、A 以外にいる確率は $1-p_n$ である。

$n+1$ 回後に A にいる場合は、次の 2 通りである。

(i)

$n$ 回後に A にいて、次に移動しない。

この確率は

$$ p_n\cdot \frac{4}{6} $$

である。

(ii)

$n$ 回後に A 以外にいて、次に A へ移る。

B にいても C にいても、次に A へ移る確率は $\dfrac{1}{6}$ であるから、この確率は

$$ (1-p_n)\cdot \frac{1}{6} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{4}{6}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n) \\ \frac{3p_n+1}{6} \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

(3)

漸化式

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

を解く。

定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{6} $$

より、

$$ \alpha=\frac{1}{3} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{3} &= \frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。

これを繰り返すと、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{3} &= \left(\frac{1}{2}\right)^n \left(p_0-\frac{1}{3}\right) \end{aligned} $$

である。ここで $p_0=1$ だから、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{3} &= \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot \frac{2}{3} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、A、B、C それぞれの確率をすべて追う必要はない。A 以外の点から A に移る確率が、B からでも C からでも同じく $\dfrac{1}{6}$ であるため、A にいる確率 $p_n$ だけで漸化式を作れる。

また、長期的には 3 点にいる確率が均等に近づくので、極限値が $\dfrac{1}{3}$ になることも自然である。漸化式を解くときは、この定常値 $\dfrac{1}{3}$ を引いて等比数列に直すのが標準的な処理である。

答え

(1)

$$ p_2=\frac{1}{2} $$

(2)

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{3p_n+1}{6} \end{aligned} $$

または

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

(3)

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$