数学A 数列･確率(数B) 問題 43 解説

方針・初手

$b_n$ はそのまま扱うより、次の漸化式で見るとよい。

$$ b_{n+1}=a_1b_n+a_{n+1} $$

したがって、$b_n$ が $7$ の倍数かどうかだけに注目し、$7$ で割った余りの推移を考える。

解法1

まず、$a_1=c$ と固定する。ただし $c=1,2,\dots,6$ である。

このとき

$$ b_{n+1}=cb_n+a_{n+1} $$

であるから、$b_{n+1}$ が $7$ の倍数となる条件は

$$ cb_n+a_{n+1}\equiv 0 \pmod{7} $$

である。

ここで $c$ は $7$ の倍数でないので、$b_n\not\equiv 0\pmod{7}$ のとき、$cb_n$ も $7$ の倍数でない。したがって

$$ a_{n+1}\equiv -cb_n \pmod{7} $$

を満たす $a_{n+1}$ は、$1,2,\dots,6$ の中にただ1つ存在する。

一方、$b_n\equiv 0\pmod{7}$ のときは

$$ cb_n+a_{n+1}\equiv a_{n+1}\pmod{7} $$

であり、$a_{n+1}=1,2,\dots,6$ だから $7$ の倍数にはならない。

よって、$a_1=c$ と固定したときに $b_n$ が $7$ の倍数となる確率を $q_n$ とおくと、

$$ q_{n+1}=\frac{1-q_n}{6} $$

が成り立つ。

また、

$$ b_1=a_1 $$

であり、$a_1=1,2,\dots,6$ だから $b_1$ は $7$ の倍数でない。よって

$$ q_1=0 $$

である。

したがって

$$ q_2=\frac{1-q_1}{6}=\frac{1}{6} $$

となる。ゆえに

$$ p_1=0,\qquad p_2=\frac{1}{6} $$

である。

次に、漸化式

$$ q_{n+1}=\frac{1-q_n}{6} $$

を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1-\alpha}{6} $$

より

$$ 7\alpha=1 $$

であるから、

$$ \alpha=\frac{1}{7} $$

である。

そこで

$$ \begin{aligned} q_{n+1}-\frac{1}{7} &= -\frac{1}{6}\left(q_n-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} q_n-\frac{1}{7} &= \left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \left(q_1-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

である。

$q_1=0$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} q_n-\frac{1}{7} &= -\frac{1}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

したがって

$$ q_n= \frac{1}{7} \left\{ 1-\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \right\} $$

である。

この値は固定した $a_1=c$ に依存しない。したがって、$a_1$ を固定しない元の確率 $p_n$ も同じ値になり、

$$ p_n= \frac{1}{7} \left\{ 1-\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \right\} $$

である。

解説

この問題の核心は、$b_n$ の定義式をそのまま計算するのではなく、

$$ b_{n+1}=a_1b_n+a_{n+1} $$

という形に直す点である。

$b_n$ が $7$ の倍数でないときは、次の出目 $a_{n+1}$ を1通りだけ選べば $b_{n+1}$ が $7$ の倍数になる。一方、$b_n$ がすでに $7$ の倍数なら、次に何を出しても $b_{n+1}$ は $7$ の倍数にならない。この対称性により、確率は簡単な一次漸化式に落ちる。

答え

(1)

$$ p_1=0,\qquad p_2=\frac{1}{6} $$

(2)

$$ p_n= \frac{1}{7} \left\{ 1-\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \right\} $$