数学A 数列･確率(数B) 問題 44 解説

方針・初手

Aの持つ硬貨の枚数だけに注目する。

全体の硬貨は常に3枚なので，ゲームが続いている途中の状態は，Aの硬貨が1枚または2枚のどちらかである。初期状態はAが2枚である。

したがって，状態

$$ A=1,\quad A=2 $$

の間の推移確率と，そこから終了状態

$$ A=0,\quad A=3 $$

へ移る確率を求めればよい。

解法1

まず，Aが2枚，Bが1枚持っている状態から考える。

Aが投げた2枚のうち表の枚数を $X$，Bが投げた1枚のうち表の枚数を $Y$ とする。このとき

$$ X\sim \mathrm{Bin}(2,\frac12),\qquad Y\sim \mathrm{Bin}(1,\frac12) $$

である。

Aが3枚になって終了するのは，Aの表の枚数の方が多く，BがAに1枚渡すときである。つまり $X>Y$ のときである。

$$ \begin{aligned} P(X>Y) &=P(Y=0,\ X=1\text{ または }2)+P(Y=1,\ X=2)\\ &=\frac12\cdot\frac34+\frac12\cdot\frac14\\ &=\frac38+\frac18\\ &=\frac12 \end{aligned} $$

よって

$$ p_1=\frac12 $$

である。

次に，Aが2枚の状態から1回操作した後，ゲームが続く場合の推移を整理する。

Aが2枚の状態から，

$$ P(2\to 3)=\frac12 $$

である。また，Aが1枚になるのは $X<Y$ のときであり，これは $Y=1,\ X=0$ の場合だけなので，

$$ P(2\to 1)=\frac12\cdot\frac14=\frac18 $$

である。残りは枚数の変化がない場合だから，

$$ P(2\to 2)=1-\frac12-\frac18=\frac38 $$

となる。

したがって，2回目の操作でAが3枚となって終了するには，1回目に $2\to2$ でゲームが続き，2回目に $2\to3$ となればよい。

ゆえに

$$ p_2=P(2\to2)P(2\to3)=\frac38\cdot\frac12=\frac{3}{16} $$

である。

次に $p_3$ を求める。

Aが1枚，Bが2枚の状態からの推移も求めておく。Aが投げた1枚のうち表の枚数を $U$，Bが投げた2枚のうち表の枚数を $V$ とする。

Aが2枚に増えるのは $U>V$ のときである。これは $U=1,\ V=0$ の場合だけなので，

$$ P(1\to2)=\frac12\cdot\frac14=\frac18 $$

である。

また，表の枚数が等しければ硬貨のやり取りはないので，Aが1枚のまま残る確率は

$$ P(1\to1)=\frac38 $$

である。

3回目の操作でAが3枚となって終了するには，2回目の操作後にAが2枚であり，なおかつゲームがまだ終了していなければよい。

初期状態はAが2枚である。2回操作した後にAが2枚でゲームが続いている経路は，次の2通りである。

(i)

$2\to2\to2$

この確率は

$$ \frac38\cdot\frac38=\frac{9}{64} $$

である。

(ii)

$2\to1\to2$

この確率は

$$ \frac18\cdot\frac18=\frac{1}{64} $$

である。

したがって，2回目の操作後にAが2枚でゲームが続いている確率は

$$ \frac{9}{64}+\frac{1}{64}=\frac{10}{64}=\frac{5}{32} $$

である。

この状態から3回目の操作でAが3枚になる確率は $\frac12$ だから，

$$ p_3=\frac{5}{32}\cdot\frac12=\frac{5}{64} $$

である。

解説

この問題では，それぞれの硬貨を区別して追う必要はない。Aが持っている硬貨の枚数だけを状態として見れば十分である。

ゲームが続く状態は $A=1$ と $A=2$ の2つだけであり，$A=0$ または $A=3$ になった時点で終了する。このため，吸収状態をもつ確率過程として考えると整理しやすい。

注意すべき点は，$p_n$ は「$n$ 回目の操作でAが3枚となって終了する確率」であり，それ以前に終了した場合は含めないことである。したがって $p_2$ や $p_3$ では，途中でゲームが終了しない経路だけを数える必要がある。

答え

(1)

$$ p_1=\frac12 $$

(2)

$$ p_2=\frac{3}{16} $$

(3)

$$ p_3=\frac{5}{64} $$