数学A 合同式 問題 1 解説

方針・初手

$n$ が $6$ の倍数であることから、自然数 $k$ を用いて $n=6k$ とおく。あとは $3^6$ を $7$ で割った余りを調べ、累乗しても余りが $1$ のままであることを示せばよい。

解法1

$n$ は $6$ の倍数であるから、ある自然数 $k$ を用いて

$$ n=6k $$

と表せる。

ここで、

$$ 3^6=729 $$

であり、

$$ 729=7\cdot 104+1 $$

だから、

$$ 3^6\equiv 1 \pmod{7} $$

である。

したがって、

$$ 3^n=3^{6k}=(3^6)^k $$

より、

$$ 3^n\equiv 1^k\equiv 1 \pmod{7} $$

となる。

よって、$n$ が $6$ の倍数のとき、$3^n$ を $7$ で割った余りは $1$ である。

解法2

$3$ の累乗を $7$ で割った余りの周期を調べる。

$$ \begin{aligned} 3^1&\equiv 3 \pmod{7},\\ 3^2&\equiv 9\equiv 2 \pmod{7},\\ 3^3&\equiv 6 \pmod{7},\\ 3^4&\equiv 18\equiv 4 \pmod{7},\\ 3^5&\equiv 12\equiv 5 \pmod{7},\\ 3^6&\equiv 15\equiv 1 \pmod{7}. \end{aligned} $$

よって、$3^6$ を $7$ で割った余りは $1$ である。

$n$ が $6$ の倍数なので、$n=6k$ とおける。したがって、

$$ 3^n=3^{6k}=(3^6)^k $$

であり、$3^6\equiv 1\pmod{7}$ だから、

$$ 3^n\equiv 1^k\equiv 1 \pmod{7} $$

である。

よって、$3^n$ を $7$ で割った余りは $1$ である。

解説

この問題の本質は、指数 $n$ が $6$ の倍数であることを $n=6k$ と表し、$3^6$ をひとまとまりとして扱う点にある。

直接 $3^n$ を計算する必要はない。合同式を用いると、

$$ 3^6\equiv 1 \pmod{7} $$

が分かれば、

$$ 3^{6k}=(3^6)^k\equiv 1^k\equiv 1 \pmod{7} $$

と一気に結論が出る。

「指数がある数の倍数」という条件は、累乗をまとまりに分けるための条件である。

答え

$n$ が $6$ の倍数なら $n=6k$ とおける。このとき、

$$ 3^6=729\equiv 1 \pmod{7} $$

であるから、

$$ 3^n=3^{6k}=(3^6)^k\equiv 1^k\equiv 1 \pmod{7} $$

となる。

したがって、$3^n$ を $7$ で割った余りは $1$ である。