数学A 合同式 問題 9 解説

方針・初手

$f(n)$ は $n$ を $7$ で割った余りであるから、$f(a)=f(b)$ を示すには $a\equiv b\pmod 7$ を示せばよい。

(1) は $n^7\equiv n\pmod 7$ を示す問題である。(2) は $g(n)=3f(\sum_{k=1}^7 k^n)$ であり、得点を大きくするなら $f(\sum_{k=1}^7 k^n)$ を最大値 $6$ にすればよい。

解法1

まず (1) を示す。

$n$ を $7$ で割った余りを $r$ とすると、

$$ n\equiv r\pmod 7 $$

である。したがって、

$$ n^7\equiv r^7\pmod 7 $$

である。

$r=0,1,2,3,4,5,6$ について、$r^7\equiv r\pmod 7$ を示せばよい。

(i)

$r=0$ のとき、

$$ r^7=0\equiv 0=r\pmod 7 $$

である。

(ii)

$r=1,2,3,4,5,6$ のとき、$r$ は $7$ と互いに素である。このとき、$r,2r,3r,4r,5r,6r$ を $7$ で割った余りは、$1,2,3,4,5,6$ を並べ替えたものになる。

よって、

$$ r\cdot 2r\cdot 3r\cdot 4r\cdot 5r\cdot 6r \equiv 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6 \pmod 7 $$

である。すなわち、

$$ r^6\cdot 6!\equiv 6!\pmod 7 $$

となる。ここで $6!$ は $7$ で割り切れないので、両辺を $6!$ で割って、

$$ r^6\equiv 1\pmod 7 $$

を得る。したがって、

$$ r^7\equiv r\pmod 7 $$

である。

以上より、すべての自然数 $n$ について、

$$ n^7\equiv n\pmod 7 $$

が成り立つ。よって、

$$ f(n^7)=f(n) $$

である。

次に (2) を考える。得点は $g(n)$ の値であり、

$$ g(n)=3f\left(\sum_{k=1}^{7}k^n\right) $$

である。$f$ の値は $0,1,2,3,4,5,6$ のいずれかなので、$g(n)$ の最大値は高々

$$ 3\cdot 6=18 $$

である。

この最大値を狙うために、$n=6$ とする。

(1) の議論より、$7$ と互いに素な $k=1,2,3,4,5,6$ について、

$$ k^6\equiv 1\pmod 7 $$

である。また、

$$ 7^6\equiv 0\pmod 7 $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{7}k^6 &= 1^6+2^6+3^6+4^6+5^6+6^6+7^6 \\ &\equiv 1+1+1+1+1+1+0\\ &\equiv 6 \pmod 7 \end{aligned} $$

である。よって、

$$ f\left(\sum_{k=1}^{7}k^6\right)=6 $$

となるから、

$$ g(6)=3\cdot 6=18 $$

である。

解説

(1) は $n^7\equiv n\pmod 7$ を示す問題であり、これは $7$ を法とするフェルマーの小定理に対応している。ただし、入試答案では「フェルマーの小定理より」とだけ書くより、非零剰余 $1,2,\dots,6$ の並べ替えを使って示すと安全である。

(2) は「好きな自然数を選ぶ」という形式なので、単に計算しやすい $n$ を選ぶだけでもよい。しかし、得点が $g(n)$ の値になるため、$g(n)$ を最大にする選び方を考えるのが自然である。

$f$ の最大値は $6$ であるから、$g(n)$ の最大値は $18$ である。$n=6$ とすると、$1,2,\dots,6$ の $6$ 乗がすべて $7$ で割って $1$ 余るため、この最大値を実現できる。

答え

(1)

すべての自然数 $n$ に対して、

$$ f(n^7)=f(n) $$

である。

(2)

例えば $n=6$ とすると、

$$ g(6)=18 $$

である。