数学A 合同式 問題 8 解説

方針・初手

$f(x)=x^4-x^2+1$ で割った余りを考えるので、

$$ x^4-x^2+1\equiv 0 \pmod{f(x)} $$

すなわち

$$ x^4\equiv x^2-1 \pmod{f(x)} $$

を基本関係として使う。特にこれから $x^6\equiv -1$ が得られるため、以後は指数を周期的に処理できる。

解法1

$f(x)$ で割った余りを合同式で表す。

まず

$$ x^4\equiv x^2-1 \pmod{f(x)} $$

である。両辺に $x^2$ をかけると、

$$ x^6\equiv x^4-x^2 \pmod{f(x)} $$

となる。ここで再び $x^4\equiv x^2-1$ を用いると、

$$ x^6\equiv (x^2-1)-x^2=-1 \pmod{f(x)} $$

である。

したがって、(1) の余りは

$$ -1 $$

である。

次に (2) を考える。上で得た

$$ x^6\equiv -1 \pmod{f(x)} $$

より、

$$ x^{12}\equiv 1 \pmod{f(x)} $$

である。

$2021$ を $12$ で割ると、

$$ 2021=12\cdot 168+5 $$

だから、

$$ x^{2021}=x^{12\cdot 168+5}\equiv x^5 \pmod{f(x)} $$

である。

ただし余りは $f(x)$ の次数 $4$ より低い次数にしなければならないので、$x^5$ をさらに整理する。

$$ x^5=x\cdot x^4\equiv x(x^2-1)=x^3-x \pmod{f(x)} $$

したがって、(2) の余りは

$$ x^3-x $$

である。

最後に (3) を示す。

$t=x^2-1$ とおくと、

$$ f(x)=x^4-x^2+1=(x^2-1)^2+(x^2-1)+1=t^2+t+1 $$

である。

$n$ が $3$ の倍数であるから、ある自然数 $m$ を用いて

$$ n=3m $$

と書ける。

このとき

$$ (x^2-1)^n-1=t^{3m}-1 $$

である。

ここで

$$ t^3-1=(t-1)(t^2+t+1) $$

より、$t^3-1$ は $t^2+t+1$ で割り切れる。

さらに

$$ t^{3m}-1=(t^3)^m-1 $$

であり、$A^m-1$ は $A-1$ で割り切れるから、

$$ (t^3)^m-1 $$

は

$$ t^3-1 $$

で割り切れる。

よって $t^{3m}-1$ は $t^2+t+1$ で割り切れる。

$t=x^2-1$ に戻すと、$t^2+t+1=f(x)$ であるから、

$$ (x^2-1)^n-1 $$

は $f(x)$ で割り切れる。

解法2

(3) は合同式でも示せる。

$t=x^2-1$ とおくと、

$$ f(x)=t^2+t+1 $$

である。したがって、$f(x)$ を法として

$$ t^2+t+1\equiv 0 $$

が成り立つ。

この両辺から

$$ t^2+t\equiv -1 $$

であり、両辺に $t-1$ をかけるより、

$$ (t^2+t+1)(t-1)=t^3-1\equiv 0 $$

すなわち

$$ t^3\equiv 1 \pmod{f(x)} $$

である。

$n$ が $3$ の倍数なので $n=3m$ とおくと、

$$ (x^2-1)^n=t^n=t^{3m}=(t^3)^m\equiv 1^m=1 \pmod{f(x)} $$

となる。

よって

$$ (x^2-1)^n-1\equiv 0 \pmod{f(x)} $$

であり、$(x^2-1)^n-1$ は $f(x)$ で割り切れる。

解説

この問題の中心は、割る多項式

$$ f(x)=x^4-x^2+1 $$

から得られる関係

$$ x^4\equiv x^2-1 \pmod{f(x)} $$

を使って、高い次数を低い次数へ落とすことである。

特に

$$ x^6\equiv -1,\qquad x^{12}\equiv 1 $$

が得られるため、累乗の余りは指数を $12$ で考えると処理しやすい。

また (3) では、$x^2-1$ をひとまとまりとして見るのが重要である。

$$ f(x)=(x^2-1)^2+(x^2-1)+1 $$

と変形できるため、$t=x^2-1$ とおけば $t^2+t+1$ の問題になる。これは $t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$ と結びつくので、$n$ が $3$ の倍数であることを自然に利用できる。

答え

(1)

$$ -1 $$

(2)

$$ x^3-x $$

(3)

$n$ が $3$ の倍数のとき、

$$ (x^2-1)^n-1 $$

は

$$ f(x)=x^4-x^2+1 $$

で割り切れる。