数学A 不定方程式 問題 1 解説

方針・初手

一次不定方程式 $7x+3y=11$ の整数解を求める。まず特解を1つ見つけ、その後、$7$ と $3$ が互いに素であることを利用して一般解を表す。

解法1

$7x+3y=11$ の整数解を1つ探すと、

$$ x=2,\quad y=-1 $$

は

$$ 7\cdot 2+3\cdot(-1)=14-3=11 $$

を満たす。よって、$(x,y)=(2,-1)$ は特解である。

一般の整数解 $(x,y)$ と特解 $(2,-1)$ の差を考える。

$$ 7x+3y=11 $$

$$ 7\cdot 2+3\cdot(-1)=11 $$

これらを引くと、

$$ 7(x-2)+3(y+1)=0 $$

となる。したがって、

$$ 7(x-2)=-3(y+1) $$

である。

ここで $7$ と $3$ は互いに素なので、$x-2$ は $3$ の倍数である。よって、ある整数 $m$ を用いて

$$ x-2=3m $$

と表せる。

したがって、

$$ x=3m+2 $$

である。これを $7x+3y=11$ に代入すると、

$$ 7(3m+2)+3y=11 $$

$$ 21m+14+3y=11 $$

$$ 3y=-21m-3 $$

$$ y=-7m-1 $$

となる。

よって、整数解は

$$ x=3m+2,\quad y=-7m-1 $$

である。

解説

一次不定方程式では、まず特解を1つ見つけることが重要である。特解が見つかれば、元の方程式との差を取ることで同次方程式に変形でき、係数が互いに素であることから一般解を得られる。

この問題では、指定された形が

$$ x=[ア]m+[イ],\quad y=-[ウ]m-[エ] $$

なので、

$$ x=3m+2,\quad y=-7m-1 $$

と比較すればよい。

答え

$$ \boxed{[ア]=3,\quad [イ]=2,\quad [ウ]=7,\quad [エ]=1} $$