数学A 不定方程式 問題 2 解説

方針・初手

整数解をすべて文字 $t$ で表し、差 $x-y$ がどのような値をとるかを調べる。一次不定方程式なので、まず一方の文字の偶奇条件から整理するのが自然である。

解法1

与えられた方程式は

$$ 2x+25y=1993 $$

である。ここで $2x$ は偶数であり、$1993$ は奇数であるから、$25y$ は奇数でなければならない。したがって $y$ は奇数である。

そこで、整数 $t$ を用いて

$$ y=2t+1 $$

とおく。このとき

$$ 2x+25(2t+1)=1993 $$

より、

$$ 2x+50t+25=1993 $$

したがって

$$ 2x=1968-50t $$

であるから、

$$ x=984-25t $$

となる。

よって整数解は

$$ x=984-25t,\qquad y=2t+1 $$

と表される。

このとき、差は

$$ x-y=(984-25t)-(2t+1)=983-27t $$

である。したがって、$|x-y|$ を最小にするには、$983$ に最も近い $27$ の倍数を考えればよい。

$$ 27\cdot 36=972,\qquad 27\cdot 37=999 $$

より、

$$ 983-972=11,\qquad 999-983=16 $$

である。したがって $|983-27t|$ が最小になるのは $t=36$ のときである。

このとき

$$ x=984-25\cdot 36=984-900=84 $$

$$ y=2\cdot 36+1=73 $$

である。

実際に、

$$ 2\cdot 84+25\cdot 73=168+1825=1993 $$

となり、条件を満たす。

解法2

差を直接扱うため、

$$ d=x-y $$

とおく。すると $x=y+d$ であるから、

$$ 2(y+d)+25y=1993 $$

すなわち

$$ 27y+2d=1993 $$

となる。

ここで $y$ が整数であるためには、

$$ 1993-2d $$

が $27$ で割り切れればよい。つまり

$$ 2d\equiv 1993 \pmod{27} $$

である。

$1993$ を $27$ で割ると、

$$ 1993=27\cdot 73+22 $$

より、

$$ 2d\equiv 22 \pmod{27} $$

となる。両辺を $2$ で割ると、

$$ d\equiv 11 \pmod{27} $$

である。したがって

$$ d=11+27k $$

と表される。

この中で $|d|$ が最も小さいものを調べると、

$$ \cdots,-43,-16,11,38,\cdots $$

であるから、最小値は $11$ である。よって

$$ x-y=11 $$

である。

これをもとの方程式に代入する。$x=y+11$ だから、

$$ 2(y+11)+25y=1993 $$

より、

$$ 27y+22=1993 $$

したがって

$$ 27y=1971 $$

なので、

$$ y=73 $$

である。よって

$$ x=73+11=84 $$

となる。

解説

一次不定方程式では、すべての整数解をパラメータ表示してから条件を最適化するのが基本である。この問題では、単に解を求めるだけでなく $|x-y|$ を最小にする必要があるため、最終的に $x-y$ を $27$ ずつ変化する整数列として見ることが重要である。

解法2のように、最初から $d=x-y$ とおくと、求めたい量を直接扱える。差の最小化問題では、この発想の方が計算量が少ない。

答え

$$ x=84,\qquad y=73 $$

このとき、

$$ |x-y|=|84-73|=11 $$

であり、これが最小である。