数学A 不定方程式 問題 6 解説

方針・初手

(1) は一次不定方程式なので、まずユークリッドの互除法で $97$ と $17$ の最大公約数を $1$ と表す。

(2) は絶対値の中身が整数になる条件を考える。絶対値の中身を別の整数で置けば、(1) の結果をそのまま利用できる。

解法1

まず、ユークリッドの互除法より

$$ \begin{aligned} 97&=17\cdot 5+12,\\ 17&=12\cdot 1+5,\\ 12&=5\cdot 2+2,\\ 5&=2\cdot 2+1 \end{aligned} $$

である。これを逆にたどると、

$$ \begin{aligned} 1&=5-2\cdot 2\\ &=5-(12-5\cdot 2)\cdot 2\\ &=5\cdot 5-12\cdot 2\\ &=(17-12)\cdot 5-12\cdot 2\\ &=17\cdot 5-12\cdot 7\\ &=17\cdot 5-(97-17\cdot 5)\cdot 7\\ &=17\cdot 40-97\cdot 7 \end{aligned} $$

したがって

$$ 97(-7)+17(40)=1 $$

であるから、$97x+17y=1$ の1つの整数解は

$$ (x,y)=(-7,40) $$

である。

よって一般解は

$$ x=-7+17t,\qquad y=40-97t $$

となる。ただし $t$ は整数である。

次に、

$$ y=\left|-\frac{97}{17}x+\frac{1}{17}\right| $$

を考える。絶対値の中身を

$$ u=-\frac{97}{17}x+\frac{1}{17}=\frac{1-97x}{17} $$

とおく。$x,y$ が整数で、右辺が整数値になるには $u$ が整数である必要がある。

このとき

$$ u=\frac{1-97x}{17} $$

より

$$ 97x+17u=1 $$

である。これは (1) と同じ形の方程式なので、

$$ x=-7+17t,\qquad u=40-97t $$

と表せる。ただし $t$ は整数である。

したがって、(2) の整数解は

$$ x=-7+17t,\qquad y=|40-97t| $$

の形になる。

条件 $50\leqq y\leqq 200$ より

$$ 50\leqq |40-97t|\leqq 200 $$

を解けばよい。

(i)

$40-97t\geqq 0$ のとき

$$ 50\leqq 40-97t\leqq 200 $$

である。これを解くと

$$ 10\leqq -97t\leqq 160 $$

より

$$ -\frac{160}{97}\leqq t\leqq -\frac{10}{97} $$

である。したがって整数 $t$ は

$$ t=-1 $$

のみである。このとき

$$ x=-7+17(-1)=-24,\qquad y=|40-97(-1)|=137 $$

となる。

(ii)

$40-97t<0$ のとき

$$ 50\leqq -(40-97t)\leqq 200 $$

である。すなわち

$$ 50\leqq 97t-40\leqq 200 $$

であり、

$$ 90\leqq 97t\leqq 240 $$

より

$$ \frac{90}{97}\leqq t\leqq \frac{240}{97} $$

である。したがって整数 $t$ は

$$ t=1,\ 2 $$

である。

$t=1$ のとき

$$ x=-7+17=10,\qquad y=|40-97|=57 $$

である。

$t=2$ のとき

$$ x=-7+34=27,\qquad y=|40-194|=154 $$

である。

以上より、条件を満たす整数の組は

$$ (-24,137),\ (10,57),\ (27,154) $$

である。

解説

(1) は $97$ と $17$ が互いに素であることを確認し、ユークリッドの互除法で $1$ を $97$ と $17$ の整数係数の和として表すことが要点である。

(2) は、絶対値の中身が

$$ \frac{1-97x}{17} $$

であることに注目する。この値を整数 $u$ とおけば、方程式

$$ 97x+17u=1 $$

が現れ、(1) の結果をそのまま使える。あとは $y=|u|$ として範囲条件を満たす $t$ を調べればよい。

答え

(1)

$$ (x,y)=(-7+17t,\ 40-97t)\qquad (t\in\mathbb{Z}) $$

(2)

$$ (x,y)=(-24,137),\ (10,57),\ (27,154) $$