数学A 不定方程式 問題 5 解説

方針・初手

条件 $100 \leqq x+y \leqq 200$ があるので、和 $x+y$ を文字で置くと処理しやすい。$s=x+y$ とおき、$x,y$ が整数になるための $s$ の条件を調べる。

解法1

$s=x+y$ とおく。すると $x=s-y$ であるから、これを $3x+5y=7$ に代入すると、

$$ 3(s-y)+5y=7 $$

より、

$$ 3s+2y=7 $$

したがって、

$$ y=\frac{7-3s}{2} $$

である。また $x=s-y$ より、

$$ x=s-\frac{7-3s}{2}=\frac{5s-7}{2} $$

となる。

ここで $x,y$ がともに整数であるためには、$\frac{7-3s}{2}$ が整数であればよい。$7-3s$ が偶数となる条件は、$s$ が奇数であることである。

また、問題の条件より

$$ 100 \leqq s \leqq 200 $$

である。この範囲にある奇数は

$$ 101,103,105,\ldots,199 $$

である。

これは初項 $101$、末項 $199$、公差 $2$ の等差数列なので、その個数は

$$ \frac{199-101}{2}+1=50 $$

である。

よって、条件を満たす整数の組 $(x,y)$ は $50$ 個である。

解法2

まず $3x+5y=7$ の整数解を求める。

一つの解として

$$ x=-1,\quad y=2 $$

がある。実際、

$$ 3(-1)+5\cdot 2=-3+10=7 $$

である。

したがって、整数解全体は整数 $t$ を用いて

$$ x=-1+5t,\quad y=2-3t $$

と表せる。

このとき、

$$ x+y=(-1+5t)+(2-3t)=1+2t $$

である。条件 $100 \leqq x+y \leqq 200$ より、

$$ 100 \leqq 1+2t \leqq 200 $$

である。これを整理すると、

$$ 99 \leqq 2t \leqq 199 $$

すなわち

$$ 49.5 \leqq t \leqq 99.5 $$

である。

$t$ は整数なので、

$$ t=50,51,52,\ldots,99 $$

となる。この個数は

$$ 99-50+1=50 $$

である。

よって、条件を満たす整数の組 $(x,y)$ は $50$ 個である。

解説

この問題は、一次不定方程式そのものを解く方法でもよいが、条件が $x+y$ にかかっているため、$s=x+y$ とおく解法が最も短い。

ポイントは、$x,y$ が整数になる条件を $s$ の偶奇に落とし込むことである。$100$ 以上 $200$ 以下の整数のうち、条件を満たすのは奇数だけなので、あとは奇数の個数を数えればよい。

答え

$$ 50 $$

個である。