数学A 不定方程式 問題 9 解説

方針・初手

分母が $13,31$ で互いに素なので、まず通分して

$$ \frac{x}{13}+\frac{y}{31}=\frac{31x+13y}{403} $$

とする。したがって、この値を正で最小にするには、整数 $31x+13y$ を正で最小にすればよい。

解法1

$x,y$ は整数であるから、$31x+13y$ も整数である。

また、$13$ と $31$ は互いに素なので、$31x+13y$ は整数全体を動く。よって

$$ \frac{31x+13y}{403} $$

が正で最小となるのは

$$ 31x+13y=1 $$

のときである。

この方程式を満たす整数解のうち、さらに $x$ が正で最小となるものを求める。

$$ 31x+13y=1 $$

を $13$ で割った余りで考えると、

$$ 31x \equiv 1 \pmod{13} $$

である。ここで $31\equiv 5\pmod{13}$ より、

$$ 5x \equiv 1 \pmod{13} $$

となる。$5\cdot 8=40\equiv 1\pmod{13}$ だから、

$$ x\equiv 8 \pmod{13} $$

である。

したがって、整数解における $x$ は

$$ x=8+13k \quad (k\in\mathbb{Z}) $$

と表される。このうち正で最小のものは

$$ x=8 $$

である。

これを $31x+13y=1$ に代入すると、

$$ 31\cdot 8+13y=1 $$

より、

$$ 248+13y=1 $$

したがって、

$$ 13y=-247 $$

であるから、

$$ y=-19 $$

となる。

よって求める整数の組は

$$ (x,y)=(8,-19) $$

である。

解説

この問題では、分数の和そのものを見るよりも、通分して分子 $31x+13y$ に注目するのが重要である。

$13$ と $31$ が互いに素であるため、$31x+13y$ は整数として $1$ を作ることができる。したがって、正の最小値は分子が $1$ のときであり、その後に $x$ が正で最小となる解を合同式で選べばよい。

答え

$$ (x,y)=(8,-19) $$